K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 3 2021
Ta có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)
Đặt \(Q=x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(=x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{8}{x+y+z}\)
Áp dụng BĐT Cô - si có :
\(\left(x+y+z\right)+\dfrac{1}{x+y+z}\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)\cdot\dfrac{1}{x+y+z}}=2\)
Do \(x+y+z\le1\Rightarrow\dfrac{8}{x+y+z}\ge8\)
Do đó : \(Q\ge8+2=10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 3 2021
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(VT\ge x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{8}{x+y+z}\ge2\sqrt{\dfrac{x+y+z}{x+y+z}}+\dfrac{8}{1}=10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
BD
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=2^2-2.1=2\) (đpcm)
DT
19 tháng 12 2017
Chào bạn
bạn nhân chéo lên rồi tách ra thì bạn sẽ có
1/x+1/y+1/z=1/x+y+z tương đương với (x+y)(y+z)(x+z)=0
Đến đây thì dễ rồi
T
1
11 tháng 12 2019
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(2^x;2^y;2^z\right)\)\(\left(a,b,c>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{2^{x+y+z}}=3\sqrt[3]{2^6}=12\)
bđt đề bài \(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dễ dàng chứng minh bđt trên với bđt phụ \(a^3-4a^2\ge16a-64\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-4\right)^2\left(a+4\right)\ge0\) luon dung
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)+16\left(a+b+c\right)-192\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
TT
1
11 tháng 8 2017
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)\(\Rightarrow xy+yz+xz=0\) (nhân cả hai vế với \(xyz\) )
Ta có : \(VP=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xy\)
\(=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=x^2+y^2+z^2=VT\)(đpcm)