Question

[Vy's Đặng's]

2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao AE, BF, CG cắt nhau tại H (với E thuộc BC, F thuộc AC, G
thuộc AB).

a/ Chứng minh các tứ giác AFHG và BGFC là các tứ giác nội tiếp.

b/ Gọi I và M lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp của các tứ giác AFHG và BGFC. Chứng minh MG là tiếp tuyến của đường tròn tâm I .

c/ Gọi D là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn tâm O. Chứng minh: EA² + EB² + EC² + ED² = 4R².

Answer 1

[Đào Thu Hiền]

a) Xét Δ AFH vuông tại F => A, F, H thuộc đường tròn đường kính AH

ΔAGH vuông tại G => A, G, H thuộn đường tròn đường kính AH

=> Tứ giác AFHG nội tiếp đường tròn đường kính AH

CMTT => BGFC nội tiếp đường tròn đường kính BC

b) Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHG => I là trung điểm AH

M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGFC => M là trrung điểm BC

Xét ΔAHG vuông tại G, trung tuyến GI => GI = IA = IH => ΔIAG cân tại I => \(\widehat{IAG}=\widehat{IGA}\)

CMTT => \(\widehat{MCG}=\widehat{MGC}\). Mà \(\widehat{MCG}=\widehat{IAG}\) (cùng phụ \(\widehat{GBC}\))                => \(\widehat{MGC}=\widehat{IGA}\)

=> \(\widehat{IGA}+\widehat{IGH}=\widehat{MGC}+\widehat{IGH}=\widehat{IGM}=90^o\) => IG ⊥ MG

=> MG là tiếp tuyến đường tròn tâm I

c) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) => \(\widehat{ACK}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ΔACK vuông tại C => \(\widehat{KAC}=90^o-\widehat{AKC}\)

ΔABE vuông tại E => \(\widehat{EAB}=90^o-\widehat{ABE}\) hay \(\widehat{DAB}=90^o-\widehat{ABC}\) 

Xét đường tròn (O) có \(\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\) (cùng chắn \(\stackrel\frown{AC}\))

=> \(90^o-\widehat{AKC}=90^o-\widehat{ABC}\) => \(\widehat{DAB}=\widehat{KAC}\) => \(\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{KC}\) (góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)

=> BD = KC (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Xét ΔAKC vuông tại C, theo định lý Pytago có: AC² + KC² = AK²

Xét ΔAEC vuông tại E, theo định lý Pytago có: EA² + EC² = AC² 

ΔBED vuông tại E, theo định lý Pytago có: EB² + ED² = BD²

Mà BD = KC (cmt) => BD² = KC² => EB² + ED² = KC² 

=> EA² + EB² + EC² + ED² = AC² + KC² = AK² = (2R)² = 4R²