chứng minh rằng nếu a không chia hết cho 5 thì a^8 + 3a^4 - 4 chia hết cho 100
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 12 2017
Lời giải:
Nếu $a$ là số tự nhiên không chia hết cho $5$ thì xét các TH sau:
+) \(a\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 1\pmod 5\)
+) \(a\equiv 2\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 4\pmod 5\)
+) \(a\equiv 3\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 9\equiv 4\pmod 5\)
+) \(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 16\equiv 1\pmod 5\)
Như vậy, khi a là số không chia hết cho $5$ thì \(a^2\equiv 1,4\pmod 5\)
----------------------------------------
Ta có:
\(M=a^4(a^4-1)+4(a^4-1)\)
\(M=(a^4-1)(a^4+4)\)
Nếu \(a^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4-1\vdots 5\\ a^4+4\vdots 5\end{matrix}\right.\Rightarrow M=(a^4-1)(a^4+4)\vdots 25\)
Nếu \(a^2\equiv 4\pmod 5\) \(\Rightarrow a^4\equiv 16\equiv 1\pmod 5\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4-1\vdots 5\\ a^4+4\vdots 5\end{matrix}\right.\Rightarrow M=(a^4-1)(a^4+4)\vdots 25\)
Vậy trong mọi TH thì \(M\vdots 25\) (*)
Mặt khác:
\(M=(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)\)
Nếu a chẵn thì \(a^2-2a+2\vdots 2; a^2+2a+2\vdots 2\)
\(\Rightarrow M\vdots 4\)
Nếu a lẻ thì \(a-1\vdots 2; a+1\vdots 2\Rightarrow M\vdots 4\)
Vậy M luôn chia hết cho $4$ (**)
Từ (*) và (**) kết hợp với (25, 4) nguyên tố cùng nhau suy ra \(M\vdots 100\)
22 tháng 1 2018
b, Có : 3a+7b chia hết cho 4
Mà 16a và 8b đều chia hết cho 4
=> 3a+7b+16a-8b chia hết cho 4
=> 19a-b chia hết cho 4
=> ĐPCM
Tk mk nha
23 tháng 5 2018
a, n(n+1)(n+2)
nhận xét :
n; n+1; n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp
=> có 1 số chia hết cho 2 và có 1 số chia hết cho 3 (1)
ƯCLN(2;3) = 1 (2)
(1)(2) => n(n+1)(n+2) \(⋮\) 6
b, 3a + 5b \(⋮\) 8
=> 5(3a + 5b) \(⋮\) 8
=> 15a + 25b \(⋮\) 8
3(5a + 3b) = 15a + 9b
xét hiệu :
(15a + 25b) - (15a + 9b)
= 15a + 25b - 15a - 9b
= (15a - 15a) + (25b - 9b)
= 0 + 16b
= 16b và (3;5) = 1
=> 5a + 3b \(⋮\) 8
c, làm tương tự câu b
PT
2
LM
25 tháng 8 2016
Xét hiệu: 3(a + 2b) - (3a - 4b) = 3a + 6b - 3a + 4b = 10b chia hết cho 5. (1)
Mặt khác: (a + 2b) chia hết cho 5 => 3(a + 2b) cũng chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) ta có: (3a - 4b) chia hết cho 5.
25 tháng 8 2016
Ta có (a+ 2b) chia hết cho 5.
Suy ra a+b+b tận cùng bằng 0,5.
Suy ra 2b = 0 ( số chẵn)
Xét 2TH
TH1 a có tận cùng = 0 suy ra 3a có tận cùng = 0
4b=2b*2 có tận cùng =0 (1)
TH2 a có tận cùng là 5 suy ra 3a có tận cùng = 5
4b=2b*2 có tận cùng =0 (2)
Từ 1 và 2 suy ra nếu (a+2b) chia hết cho 5 thì (3a -4b) chia hết cho 5
27 tháng 8 2019
1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)
và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
=> \(a^5-a⋮5\)
Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5
