Biết a + b + c = 5
chứng minh rằng \(\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}=5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
T
18 tháng 8 2019
By Cauchy-Schwarz, we have:
\(VT\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^2b+b^2c+c^2a}\)
We will prove: \(a^2b+b^2c+c^2a\le a^3+b^3+c^3\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+3abc\le a^3+b^3+c^3+3abc\)
By Schur, we have: \(RHS\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(a\right)\)
So we're only need to prove: \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\ge a^2b+b^2c+c^2a+3abc\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\ge3abc\)
It is true by AM-GM ineq', so we have Q.E.D.
P/s: Em thử giải bài này bằng tiếng Anh (để tự luyện kĩ năng tiếng anh, tí em giải lại theo tiếng việt)
10 tháng 8 2016
a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0
=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1
-->Đpcm
b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)
=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
c)a2+b2+c2=ab+bc+ca
=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca
=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
PD
0
15 tháng 8 2019
\(b^2+3=b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
Tương tự với các mẫu thức khác, ta có :
\(P=\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+b}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{64\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}=\frac{3a}{4}\)
Tương tự ta có :
\(\frac{b^3}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{a+b}{8}\ge\frac{3c}{4}\)
Cộng theo vế của các bđt ta được :
\(P+2\left(\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}+\frac{c+a}{8}\right)\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\left(\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{a+b+c}{4}\)
Ta có bđt quen thuộc : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3\cdot3=9\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)
Do đó \(P\ge\frac{3}{4}\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
4 tháng 12 2019
Do \(a+b+c=1\) nên :
\(VT=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b\left(a+b+c\right)+ac}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM - GM :
\(\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)
Cộng theo vế :
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
