Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp truyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E . Chứng minh :
a) BD2 = AD.CD
b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp ;
c) BC song song với DE
(Mong mn giúp đỡ☺)
a) Xét (O) có \(\widehat{DBC}\) và \(\widehat{DAB}\) lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{BC}\) nên ta có \(\widehat{DBC}=\widehat{DAB}\). Từ đó, ta dễ dàng chứng minh \(\Delta DBC~\Delta DAB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{DB}{DA}\) \(\Rightarrow BD^2=AD.CD\) (đpcm)
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE.
Xét (O) có 2 tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại I nên \(IB=IC\), dẫn đến tam giác IBC cân tại I, từ đó \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\) (1)
Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) \(\Rightarrow180^o-\widehat{ABC}=180^o-\widehat{ACB}\) \(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (2)
Từ (1) và (2), ta có \(\widehat{EBC}-\widehat{IBC}=\widehat{DCB}-\widehat{ICB}\) \(\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\)
Từ đó dễ dàng chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
c) Tứ giác BCDE nội tiếp nên \(\widehat{EBC}+\widehat{CDE}=180^o\)
Mà \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) nên \(\widehat{DCB}+\widehat{CDE}=180^o\) \(\Rightarrow BC//DE\) (2 góc trong cùng phía bù nhau)