Question

[Lê Anh khoa]

  Cứu bé :):(:):

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Ta có B và C cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông nên B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

=> ABOC là tứ giác nội tiếp

Ta có

HD=HE (gt)

\(\Rightarrow OH\perp DE\) (Trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)

=> H nhìn AO dưới 1 góc vuông => H thuộc đường tròn đường kính AO

Ta có AB=AC (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

Xét đường tròn đường kính AO có

sđ cung AB = sđ cung AC (Trong đường tròn 2 dây trương cung có độ dài bằng nhau thì số đo 2 cung tương ứng bằng nhau) (1)

Ta có

\(sđ\widehat{AHB}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AB (góc nội tiếp) (2)

\(sđ\widehat{AHC}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc nội tiếp) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) => HA là tia phân giác của \(\widehat{BHC}\)

c/ Gọi G là giao điểm của AO với BC \(\Rightarrow AO\perp BC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm

Xét tg vuông AGK và tg vuông AHO có

\(\widehat{HAO}\) chung

=> tg AGK đồng dạng với tg AHO (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AK}{AO}=\dfrac{AG}{AH}\Rightarrow AK=\dfrac{AG.AO}{AH}\)

Xét tg vuông ABO có

\(AB^2=AG.AO\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AK=\dfrac{AG.AO}{AH}=\dfrac{AB^2}{AH}\)

Xét tg ADB và tg ABE có

\(\widehat{BAE}\) chung

\(sđ\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung BD (Góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{AEB}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung BD (Góc nội tiếp (O))

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)

 => tg ADB đồng dạng với tg ABE (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

\(\Rightarrow AK=\dfrac{AB^2}{AH}=\dfrac{AD.AE}{AH}\Rightarrow\dfrac{2}{AK}=\dfrac{2.AH}{AD.AE}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{AK}=\dfrac{AD+HD+AE-HE}{AD.AE}=\dfrac{AE+AD}{AD.AE}=\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{AE}\)