Question

[Thầy Tùng Dương]

(Quảng Ngãi - 2020)

Cho nửa đường tròn đường tâm O, đường kính AB và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó ( M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn người ta vẽ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

a) Chứng minh tứ giác EFMK nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác BAF cân.

c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi.

d) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được đường tròn.

Answer 1

[Trần Xuân Thương]

a) Tứ giác EFMK có góc E và góc M vuông (vì đều bằng các góc chắn nửa đường tròn) nên là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có 

$\widehat{HAF}=\widehat{ABE}$ (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung);

$\widehat{EAM}=\widehat{EBM}$ ( góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{EM}}$)

mà $\widehat{HAF}=\widehat{EAM}$ ($AE$ là tia phân giác góc IAM)

nên $\widehat{ABE}=\widehat{EBM}$, hay BE là tia phân giác góc ABM.

Mặt khác BE cũng là đường cao trong tam giác ABF nên tam giác ABF cân tại B.

c) Tam giác HAK có AE vừa là phân giác vừa là đường cao nên nó cân tại A. Suy ra E là trung điểm HK.

Tứ giác HFKA có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.

d) HFKA là hình thoi nên FK // HA, suy ra tứ giác IFKA là hình thang.

Để IFKA nội tiếp được đường tròn thì nó phải là hình thang cân, hay tam giác MIA vuông cân tại M.

Khi đó, $\widehat{IAM}=45^{\circ }\Rightarrow \widehat{MAB}=45^{\circ },$ tam giác MAB vuông cân tại M. Do đó M là điểm chính giữa cung nửa đường tròn AB.