Ch a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A=\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ca}{c+3a+2b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 8 2021
Bổ đề :\(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y}\dfrac{1}{z}}=9\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z
Ta có:\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{9}.\dfrac{9}{a+3b+2c}\le\dfrac{ab}{9}.\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2b}\right)\)
Tương tự ta có:\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}\le\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b+a}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{2c}\right)\)
\(\dfrac{ca}{c+3a+2b}\le\dfrac{ca}{9}.\left(\dfrac{1}{c+b}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2a}\right)\)
Cộng vế với vế ta có:
\(A\le\dfrac{1}{9}.\left(\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{cb+ac}{a+b}+\dfrac{ca+ab}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}.\left(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{1}{9}.\left(6+\dfrac{6}{3}\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ a=b=c=2
Vậy Max A=1⇔ a=b=c=2
14 tháng 3 2021
Áp dụng bđt Schwarz ta có:
\(P=\dfrac{a^4}{2ab+3ac}+\dfrac{b^4}{2cb+3ab}+\dfrac{c^4}{2ac+3bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{5}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
LS
Lê Song Phương
CTVHS
20 tháng 8 2023
Ta có \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) thì ta có \(x,y,z>0;x+y+z=3\) và
\(\sqrt{\dfrac{a}{3b^2c^2+abc}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{3.\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{xyz}}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3x+yz}{xy^2z^2}}}=\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Do đó \(T=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Lại có \(\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}\)
Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được \(T\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+x\right)}\) \(+\dfrac{xy}{2\left(z+x\right)}+\dfrac{xy}{2\left(z+y\right)}\)
\(T\le\dfrac{yz+zx}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{xy+yz}{2\left(z+x\right)}\)
\(T\le\dfrac{x+y+z}{2}\) (do \(x+y+z=3\))
\(T\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(maxT=\dfrac{3}{2}\), xảy ra khi \(a=b=c=1\)
(Mình muốn gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Đức Trí vì ý tưởng của bài này chính là bài mình vừa hỏi lúc nãy trên diễn đàn. Cảm ơn bạn Trí rất nhiều vì đã giúp mình có được lời giải này.)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
20 tháng 8 2023
Bạn Lê Song Phương xem lại dùm nhé, thanks!
\(...\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\)
\(...\Rightarrow T\le2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(T\right)=6\left(tạia=b=c=1\right)\)
I
2 tháng 7 2020
Bìa này muốn làm cân 2 bước nha
Bước 1 ) CM BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
nó được CM như sau
áp dụng BĐT cô si ta đc
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3.\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=9.\sqrt[3]{xyz.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=9\)
dấu = xảy ra khi x=y=z
I
2 tháng 7 2020
Bước 2 ) Theo CM bước 1 . áp dụng ta đc
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}=\frac{ab}{9}.\frac{9}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
CM tương tự ta đc
\(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2c}\right)\)
\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}\right)\)
cộng zế zới zế ta đc
\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)\)
\(A\le\frac{1}{9}\left(b+a+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}=\frac{6}{6}=1\)
=> MAx A=1 khi a=b=c=2
5 tháng 11 2021
Vì \(a,b,c>0\Rightarrow a+b+c\ne0\)
Áp dụng tc dtsbn:
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c-a=2a\\2c-b+a=2b\\2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2b=c\\3b-2c=a\\3c-2a=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-c=2b\\3b-a=2c\\3c-b=2a\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow P=\dfrac{abc}{2a\cdot2b\cdot2c}=\dfrac{1}{8}\)
NV
1 tháng 4 2023
\(ab+bc+ca=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\) (do a,b,c là các số dương)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{6^2}{a+2b+3c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{36}{a+2b+3c}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{36}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{3}{a}\left(2\right)\\\dfrac{36}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1) + (2) + (3) ta được:
\(36F\le6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=6.3=18\)
\(\Rightarrow F\le\dfrac{1}{2}\)
MaxF=1/2 khi \(a=b=c=1\)
21 tháng 5 2022
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-0-thoa-man-abbcca3-tim-gia-tri-nho-nhat-cua-pdfrac13a1b2dfrac13b1c2dfrac13c1a2.6181078378966
20 tháng 2 2022
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{16}{2a+3b+3c}\)
\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{16}{2b+3a+3c}\)
\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{16}{2c+3a+3b}\)
cộng tất cả lại ta được \(4.2017\ge16.\left(\dfrac{1}{2a+3b+3c}+\dfrac{1}{2b+3a+3c}+\dfrac{1}{2c+3a+3b}\right)< =>P\le\dfrac{2017}{4}\)
dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{a+c}\\\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}=2017\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\\dfrac{3}{2a}=\dfrac{3}{2b}=\dfrac{3}{2c}=2017\end{matrix}\right.< =>a=b=c=\dfrac{3}{4034}}\)
Áp dụng bđt \(\dfrac{9}{a+b+c}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Khi đó \(\dfrac{9.ab}{a+3b+2c}=ab.\dfrac{9}{\left(a+c\right)+\left(c+b\right)+2b}\le\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{c+b}+\dfrac{a}{2}\)
Tương tự và cộng theo vế suy ra \(9A\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2}=9< =>A\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2