Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên tập xác định R, và thỏa mãn điều kiện phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm \(x=-3\) ; \(x=0\) ; \(x=2\). Xét hàm số \(y=g\left(x\right)=f\left(x^2+4x-m\right)\), tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\in[-10;10]\) để phương trình \(g'\left(x\right)=0\) có đúng 5 nghiệm phân biệt .
A. -6 B. 42 C. 50 D. 6
P/s: Kì thi cuối học kỳ 2 lớp 11 trường THPT Phan Huy Chú , thành phố Hà Nội
Em xin nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán, em cám ơn nhiều ạ!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x+\dfrac{1}{3}\right)-f\left(x\right)\)
Hiển nhiên \(g\left(x\right)\) cũng liên tục trên R
Ta có: \(g\left(0\right)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)-f\left(0\right)\)
\(g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(\dfrac{2}{3}\right)\)
\(g\left(\dfrac{1}{3}\right)=f\left(\dfrac{2}{3}\right)-f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(g\left(0\right)+g\left(\dfrac{1}{3}\right)+g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(0\right)=0\)
- Nếu tồn tại 1 trong 3 giá trị \(g\left(0\right);g\left(\dfrac{1}{3}\right);g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) bằng 0 thì hiển nhiên pt có nghiệm
- Nếu cả 3 giá trị đều khác 0 \(\Rightarrow\) tồn tại ít nhất 2 trong 3 giá trị \(g\left(0\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) trái dấu
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại ít nhất 1 trong 3 tích số: \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) âm
\(\Rightarrow\) Pt \(g\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[0;1\right]\)
Khi gặp dạng này, ý tưởng là sẽ tìm 1 hàm u(x) sao cho:
\(\int\limits^b_a\left[f'\left(x\right)-u\left(x\right)\right]^2dx=0\) (1)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-u\left(x\right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=u\left(x\right)\)
Khai triển (1), đề cho sẵn \(\left[f'\left(x\right)\right]^2\) nên đại lượng \(2u\left(x\right).f'\left(x\right)\) và hàm \(u\left(x\right)\) sẽ được suy ra từ việc tích phân từng phần \(\int\limits f\left(x\right)dx\). Cụ thể:
Xét \(I=\dfrac{2}{3}=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^2_0-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\) (2)
(Vậy đến đây hàm \(u\left(x\right)\) được xác định là dạng \(u\left(x\right)=k.x\)
Để tìm cụ thể giá trị k:
Từ (1) ta suy luận tiếp:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-kx\right]^2dx=0\Leftrightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-2k\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^2_0k^2x^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}-2k.\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}k^2=0\) do \(\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{8}{3}\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\) coi như xong bài toán)
Do đó ta có:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)+\dfrac{1}{4}\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{8}{3}=0\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x\right]^2dx=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2+C\)
Thay \(x=2\Rightarrow1=1+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2\)
Lời giải:
Thay $x=0$ vào điều kiện đề thì $f(1)=0$ hoặc $f(1)=-1$
Đạo hàm 2 vế:
$4f(2x+1)f'(2x+1)_{2x+1}=1+3f(1-x)^2f'(1-x)_{1-x}$
Thay $x=0$ vô thì:
$4f(1)f'(1)=1+3f(1)^2f'(1)$
Nếu $f(1)=0$ thì hiển nhiên vô lý
Nếu $f(1)=-1$ thì: $-4f'(1)=1+3f'(1)\Rightarrow f'(1)=\frac{-1}{7}$
PTTT tại $x=1$ có dạng:
$y=f'(1)(x-1)+f(1)=\frac{-1}{7}(x-1)-1=\frac{-x}{7}-\frac{6}{7}$
Dạng: \(....f'\left(x\right)+...f\left(x\right)=...\)
Ý tưởng luôn là đưa về đạo hàm của tổng sau đó lấy nguyên hàm 2 vế.
Thêm bớt sao cho vế trái biến thành: \(u\left(x\right).f'\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)\) là được
So sánh nó với vế trái đề bài, dư ra \(u'\left(x\right)\) ở trước \(f\left(x\right)\) nên ta chia nó (vế kia vẫn ko quan tâm)
Được: \(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}.f'\left(x\right)+f\left(x\right)\)
So sánh nó với đề bài, vậy ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) sao cho:
\(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}=x\left(x+1\right)\)
Nhưng để thế này ko lấy nguyên hàm được, phải nghịch đảo 2 vế:
\(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Giờ thì lấy nguyên hàm: \(\int\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}dx=\int\dfrac{dx}{x\left(x+1\right)}\Leftrightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)
Tới đây suy được \(u\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\) \(\Rightarrow\) vế trái cần có dạng:
\(\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)\)
Nhìn vào đây là xong rồi. Bài toán sẽ được giải như sau:
Chia 2 vế giả thiết cho \(\left(x+1\right)^2\):
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)\right)'=\dfrac{x}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x-\dfrac{x}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}-ln2+C\Rightarrow-2ln2=\dfrac{1}{2}-ln2+C\)
\(\Rightarrow C=-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=...\)
Chọn B