Cho các số thực dương a1,b1,c1,a2,b2,c2 thỏa mãn điều kiện \(\frac{a1}{a2}=\frac{b1}{b2}=\frac{c1}{c2}\).CMR \(\sqrt{\left(a1+b1+c1\right)\left(a2+b2+c2\right)}=\sqrt{a1a2}+\sqrt{b1b2}+\sqrt{c1c2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NP
0
CM
22 tháng 6 2018
Ta chứng minh BĐT
( a + b + c ) ( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥ 9 ( * ) ( * ) < = > 3 + ( a b + b a ) + ( b c + c b ) + ( c a + a c ) ≥ 9
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:
a b + b a ≥ 2 b c + c b ≥ 2 c a + a c ≥ 2 =>(*) đúng
= > 9 a + b + c ≤ 1 a + 1 b + 1 c ≤ 3 = > a + b + c ≥ 3
Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có 1 + b 2 ≥ 2 b
Ta có: a 1 + b 2 = a − a b 2 1 + b 2 ≥ a − a b 2 2 b = a − a b 2 ( 1 )
Tương tự ta có:
b 1 + c 2 ≥ b − b c 2 ( 2 ) c 1 + a 2 ≥ c − c a 2 ( 3 )
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:
a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 ≥ a + b + c − 1 2 ( a b + b c + c a ) = > a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 + 1 2 ( a b + b c + c a ) ≥ a + b + c ≥ 3
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = k
a1=k.a2, b1=k.b2, c1=k.c2
Biểu thức trở thành
√(k.a2 + k.b2 + k.c2).(a2 + b2 + c2)= √k.a2.a2 + √k.b2.b2 + √k.c2.c2
√k.(a2+b2+c2)2 = a2. √k + b2. √k + c2. √k
(a2+b2+c2). √k = (a2+b2+c2). √k (hiển nhiên đúng)
Suy ra điều phải chứng minh