cho 3 số thực a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=2013
cm:
\(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 3 2020
Ta có \(\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1\ge a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge a+ab+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có
\(VT\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(=\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ab}\right)}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
15 tháng 8 2016
Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)
Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
TN
15 tháng 8 2016
đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
29 tháng 5 2018
Ta có: \(2019a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2\)
\(\Rightarrow a+\sqrt{2019a+bc}\ge a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}\le\frac{a}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự cộng vào suy ra điều phải chứng minh
G
22 tháng 7 2019
\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Áp dụng bđt Cô Si: \(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
Tương tự,cộng theo vế và rút gọn =>đpcm
2 tháng 4 2020
\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Áp dụng bđt CÔ si
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
.............
Ta có : \(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
hay \(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}\le\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự : \(\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ac}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được \(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\le1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\\a+b+c=2013\\a,b,c>0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=671\)
v