Cho a,b,c là các số thực dương
CMR:
1) \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
2) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
26 tháng 11 2020
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
T
30 tháng 1 2019
Easy nà!
Đặt \(\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\) thì xyz = 1
BĐT trở thành: \(x^2+y^2+z^2\ge x+y+z\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có: \(VT+1=\left(x^2+y^2\right)+\left(z^2+1\right)\)
\(\ge2xy+2z\ge2\sqrt{2xy.2z}=4\sqrt{xyz}=4\)
Suy ra \(VT\ge3\) (1)
Lại có: \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
Cộng theo vế 3 BĐT: \(VT+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Kết hợp (1) suy ra \(2VT\ge VT+3\ge2\left(x+y+z\right)=2VP\)
Từ đây,ta có:\(2VT\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
16 tháng 9 2017
Hơi khó :)) mình ms lớp 8
Ta có : \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}=6\)(AM - GM) (1)
Ta lại có : \(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)(AM - GM)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow3+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)(2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}\)(đpcm)
LV
16 tháng 9 2017
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge\frac{3}{\left(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)}\)sai
31 tháng 8 2016
\(a^2\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c}\right)+b^2\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}\right)+c^2\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)\ge0.\)
\(a^2\left(\frac{a-}{b+c}\frac{b}{a+c}\right)+b^2\left(\frac{b}{a+c}\frac{-c}{a+b}\right)+c^2\left(\frac{c-}{a+b}\frac{a}{b+c}\right)\ge0.\)
\(a^2\left(a^2-b^2\right)+b^2\left(b^2-c^2\right)+c^2\left(c^2-a^2\right)\ge0.\)
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2.\) cái này dễ rồi .
29 tháng 12 2019
a)
Do a,b,c > 0
nên áp dụng BĐT Svacxo ta được :
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\) ( đpcm )
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
b)
Do a,b,c > 0
nên áp dụng BĐT Svacxo ta được :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\) ( đpcm )
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
1) Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\) :
Ta có : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)