Question

[o0o I am a studious person o0o]

Chứng minh : \(\left(\frac{3-\sqrt{37}}{2}\right)^{2010}+\left(\frac{3+\sqrt{37}}{2}\right)^2\)  là số nguyên 

Answer 1

[o0o I am a studious person o0o]

Đặt : \(\hept{\begin{cases}a=\frac{3-\sqrt{37}}{2}\\b=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=3\\ab=7\end{cases}\Rightarrow}a,b}\)là nghiệm của PT : \(x^2-3x-7=0\)

Ta cần chứng minh : \(\left(\frac{3-\sqrt{37}}{2}\right)^n+\left(\frac{3+\sqrt{37}}{2}\right)^n=a^n+b^n\in Z\)( * )

Thật vậy :

 \(+n=1\)( * ) đúng

Giả sử * đúng vs n = k nghĩa là : \(a^k+b^k\in Z\)

Vậy ta cần CM : \(a^{k+1}+b^{k+1}\in Z\)

Do \(a^{k+1}+b^{k+1}=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{k-1}+b^{k-1}\right)\)

Mà \(\hept{\begin{cases}a^k+b^k\in Z\\a^{k-1}+b^{k-1}\in Z\\ab\in Z\end{cases}}\Rightarrow a^{k+1}+b^{k+1}\in Z\)

Vậy * đúng với mọi n nguyên dương

Answer 2

[Tuấn]

ĐỀ THIẾU số mũ 2010 kìa 
Đặt \(a=\frac{3-\sqrt{37}}{2},b=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\)
Có \(\hept{\begin{cases}ab=-14\in Z\\a+b=3\in Z\end{cases}}\)
ta đi c/m bổ đề vs a+b nguyên, ab nguyên  thì a^n+b^n nguyên, 
c/m:Có \(a^n+b^n=\left(a+b\right)^n-\text{ C1n a^(n-1)b + C2n a^(n – 2)b^2 + … + Cnn – 1 ab^(n – 1) }\)
Do a+b nguyên , ab nguyên nên a^n+b^n nguyên
áp dụng bài toán trên với n=2010 => dpcm
với Cnn là tổ hợp châp n của n với n chyaj từ 1 đến n