Cho hai số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(x^3+y^3+3.x.y\le1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(P=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn vui lòng giúp đỡ em tham khảo với ạ !Em cám ơn rất nhiều...
Đọc tiếp
Cho hai số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(x^3+y^3+3.x.y\le1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
\(P=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn vui lòng giúp đỡ em tham khảo với ạ !
Em cám ơn rất nhiều ạ!
\(x^3+y^3+3xy\le1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-1-3xy\left(x+y\right)+3xy\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)^2+x+y+1\right]-3xy\left(x+y-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-xy+x+y+1\right)\le0\)
Do \(x^2+y^2-xy+x+y+1=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+x+y+1>0\)
\(\Rightarrow x+y-1\le0\Rightarrow x+y\le1\)
\(\Rightarrow P=\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{4y}\right)+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{y}{4y}}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{x+y}\ge2+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{1}=5\)
\(P_{min}=5\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Dạ , em cám ơn thầy Lâm nhiều ạ!