Question

[Knight Dragon]

Cho ∆ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) , hai đường cao BF và CE cắt nhau tại H
a/ Chứng minh 4 điểm B, E, F,C cùng nằm trên một đường tròn . Xác định tâm I của đường tròn đó
b/ Tia AH cắt (O) tại M và vẽ đường kính AD của đường tròn (O) . Chứng minh tứ giác BCDM là hình thang cân 

c/ Chứng minh H, I, D thẳng hàng
d/ AD cắt EF tại K . Chứng minh AD vuông EF

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác BEFC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\)

nên BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,E,F,C cùng thuộc một đường tròn

tâm I là trung điểm của BC

b: Xét ΔABC có

BF,CE là các đường cao

BF cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

=>AM\(\perp\)BC

Xét (O) có

ΔAMD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔAMD vuông tại M

=>AM\(\perp\)MD

Ta có: AM\(\perp\)BC

AM\(\perp\)MD

Do đó: BC//MD

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

Ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^0\)(AH\(\perp\)BC)

\(\widehat{ADC}+\widehat{CAD}=90^0\)(ΔACD vuông tại C)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

nên \(\widehat{BAH}=\widehat{CAD}\)

=>\(\widehat{BAH}+\widehat{MAD}=\widehat{CAD}+\widehat{MAD}\)

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAM}\)(1)

Xét (O) có

\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

\(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

Do đó: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\left(2\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

Do đó: \(\widehat{CBM}=\widehat{CAM}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{CBM}=\widehat{BCD}\)

Xét tứ giác BCDM có BC//DM

nên BCDM là hình thang

Hình thang BCDM có \(\widehat{CBM}=\widehat{BCD}\)

nên BCDM là hình thang cân

c: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BA\(\perp\)BD

mà CH\(\perp\)BA

nên CH//BD

Ta có: CD\(\perp\)CA

BH\(\perp\)AC

Do đó: BH//CD

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD
BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BC

nên I là trung điểm của HD

=>H,I,D thẳng hàng

d: Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AFE}\left(=180^0-\widehat{EFC}\right)\)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AFE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên EF//Ax

Ta có: Ax//EF

Ax\(\perp\)AD

Do đó: AD\(\perp\)EF tại K