Chứng minh rằng
\(2x+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\ge1,\forall x>-1\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
D
0
25 tháng 8 2021
a)√x−1=2(x≥1)
\(x-1=4
\)
x=5
b)
\(\sqrt{3-x}=4\) (x≤3)
\(\left(\sqrt{3-x}\right)^2=4^2\)
x-3=16
x=19
26 tháng 8 2021
a: Ta có: \(\sqrt{x-1}=2\)
\(\Leftrightarrow x-1=4\)
hay x=5
b: Ta có: \(\sqrt{3-x}=4\)
\(\Leftrightarrow3-x=16\)
hay x=-13
c: Ta có: \(2\cdot\sqrt{3-2x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3-2x}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow-2x+3=\dfrac{1}{16}\)
\(\Leftrightarrow-2x=-\dfrac{47}{16}\)
hay \(x=\dfrac{47}{32}\)
d: Ta có: \(4-\sqrt{x-1}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=\dfrac{7}{2}\)
\(\Leftrightarrow x-1=\dfrac{49}{4}\)
hay \(x=\dfrac{53}{4}\)
e: Ta có: \(\sqrt{x-1}-3=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=4\)
\(\Leftrightarrow x-1=16\)
hay x=17
f:Ta có: \(\dfrac{1}{2}-2\cdot\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow x+2=\dfrac{1}{64}\)
hay \(x=-\dfrac{127}{64}\)
NV
1
19 tháng 4 2018
ap dung BDT co si cho 2 so ko am
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}\)
<=>\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\) (dpcm)
13 tháng 7 2022
b: \(=\left[\dfrac{2}{3x}-\dfrac{2}{x+1}\cdot\dfrac{x+1-3x^2-3x}{3x}\right]\cdot\dfrac{x}{x+1}\)
\(=\left(\dfrac{2}{3x}-\dfrac{2}{x+1}\cdot\dfrac{-3x^2-2x+1}{3x}\right)\cdot\dfrac{x}{x+1}\)
\(=\dfrac{2x+2+6x^2+4x-2}{3x\left(x+1\right)}\cdot\dfrac{x}{x+1}\)
\(=\dfrac{6x^2+6x}{3\left(x+1\right)}\cdot\dfrac{1}{x+1}\)
\(=\dfrac{6x\left(x+1\right)}{3\left(x+1\right)^2}=\dfrac{2x}{x+1}\)
c: \(VT=\left[\dfrac{2}{\left(x+1\right)^3}\cdot\dfrac{x+1}{x}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\cdot\dfrac{1+x^2}{x^2}\right]\cdot\dfrac{x^3}{x-1}\)
\(=\left(\dfrac{2}{x\left(x+1\right)^2}+\dfrac{x^2+1}{x^2\cdot\left(x+1\right)^2}\right)\cdot\dfrac{x^3}{x-1}\)
\(=\dfrac{2x+x^2+1}{x^2\cdot\left(x+1\right)^2}\cdot\dfrac{x^3}{x-1}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}\cdot\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}\)
28 tháng 11 2017
Đặt \(x=\dfrac{c^2}{ab}\); \(y=\dfrac{a^2}{bc}\); \(z=\dfrac{b^2}{ac}\)
\(\Rightarrow xyz=1\) là điều hiển nhiên
BĐT cần chứng minh tương đương
\(\dfrac{\left(\dfrac{c^2}{ab}\right)^2}{\left(\dfrac{c^2}{ab}-1\right)^2}+\dfrac{\left(\dfrac{a^2}{bc}\right)^2}{\left(\dfrac{a^2}{bc}-1\right)^2}+\dfrac{\left(\dfrac{b^2}{ac}\right)^2}{\left(\dfrac{b^2}{ac}-1\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}+\dfrac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\dfrac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}\ge1\)
Áp dụng BĐT C.B.S
\(\dfrac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}+\dfrac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\dfrac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(c^2-ab\right)^2+\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ac\right)^2}\)ta phải chứng minh:
\(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(c^2-ab\right)^2+\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ac\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-2\left(abc^2+a^2bc+b^2ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2021
\(u_n-u_{n+1}=u_n+\left(1-u_{n+1}\right)-1\ge2\sqrt{u_n\left(1-u_{n+1}\right)}-1>0\)
\(\Rightarrow u_n>u_{n+1}\Rightarrow\) dãy giảm
Dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn.
Gọi giới hạn đó là k
\(\Rightarrow k\left(1-k\right)\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(2k-1\right)^2\le0\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(\lim\left(u_n\right)=\dfrac{1}{2}\)
ặt x+1=tx+1=t thì t>0t>0 và x=-1+tx=−1+t. Ta có
2x+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}=2\left(-1+t\right)+\dfrac{1}{t^2}=-2+t+t+\dfrac{1}{t^2}2x+(x+1)21=2(−1+t)+t21=−2+t+t+t21
\ge-2+3\sqrt[3]{t.t.\dfrac{1}{t^2}}=-2+3=1≥−2+33t.t.t21=−2+3=1
1