chứng minh rằng: nếu a+4b=1 thì 5(a2 + 4b2 ) >=1
(giúp mình nha :))
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a-1\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+1-2a\ge0\Rightarrow a^2+1\ge2a\left(1\right)\)
\(\left(2b-3\right)^2\ge0\Rightarrow4b^2+9-12b\ge0\Rightarrow4b^2+9\ge12b\left(2\right)\)
\(\left(c\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}\right)^2\ge0\Rightarrow3c^2+3-6c\ge0\Rightarrow3c^2+3\ge6c\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow a^2+1+4b^2+9+3c^2+3\ge2a+12b+6c\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2+3c^2+1+9+3\ge2a+12b+6c\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2+3c^2+13\ge2a+12b+6c\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2+3c^2\ge2a+12b+6c-13\)
mà \(2a+12b+6c-13>2a+12b+6c-14\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2+3c^2>2a+12b+6c-14\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Ta có:
abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 1000a + 96b + 4b + 8c + 2c + d = (1000a + 96b + 8c) + (d + 2c + 4b)
Mà d + 2c + 4b chia hết cho 8 theo đề bài
Và 1000a + 96b + 8c cũng chia hết cho 8
=> abcd chia hết cho 8
Ta có: a + b = 1 ⇔ b = 1 – a
Thay vào bất đẳng thức a2 + b2 ≥ 1/2 , ta được:
a2 + (1 – a)2 ≥ 1/2 ⇔ a2 + 1 – 2a + a2 ≥ 1/2
⇔ 2a2 – 2a + 1 ≥ 1/2 ⇔ 4a2 – 4a + 2 ≥ 1
⇔ 4a2 – 4a + 1 ≥ 0 ⇔ (2a – 1)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
\(a+b=1=>b=1-a\)
\(=>a^2+\left(1-a\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(=>a^2+1-2a+a^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow-2a+2a^2+1\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(-2a+2a^2+1\right).2\ge1\)
\(\Leftrightarrow-4a+4a^2+2\ge1\)
\(\Leftrightarrow-4a+4a^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
\(''=''\left(khi\right)2a-1=0=>a=\dfrac{1}{2}\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
a) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
=> p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 ( k thuộc N*)
Nếu p có dạng 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3 ( k + 2 ) là hợp số
=>p không có dạng 3k + 2
=>p có dạng 3k + 1
=> p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3 ( k + 3 ) là hợp số ( đpcm )
b)
Ta có:
abcd =1000a + 100b + 10c + d = 1000a + 96b + 4b + 8c + 2c + d = ( 1000a + 96b + 8c ) + ( d + 2c + 4b ) = 8 ( 125a + 12b + c ) + ( d + 2c + 4b )
Vì 8 ( 125a + 12b + c ) chia hết cho 8
Mà ( d + 2c + 4b ) chia hết cho 8
=> 8 ( 125a + 12b + c ) + ( d + 2c + 4b ) chia hết cho 8
hay abcd chia hết cho 8 ( đpcm )
Với mọi số thực ta luôn có:
`(a-b)^2>=0`
`<=>a^2-2ab+b^2>=0`
`<=>a^2+b^2>=2ab`
`<=>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1`
`<=>a^2+b^2>=1/2(đpcm)`
Dấu "=' `<=>a=b=1/2`
ta có:
(a²+b²)(1²+1²)≥(a.1+b.1)²
⇔ 2(a²+b²) ≥ (a+b)²
⇔ 2(a²+b²)≥ 1 (vì a+b=1)
⇔ a² +b² ≥ 1/2 (đpcm)
dấu "=) xảy ra khi a = b = 1/2
1: 2a+2b=2(a+b)
2: 2a+4b+6c
=2*a+2*2b+2*3c
=2(a+2b+3c)
3: \(-7a-14ab-21b=-7\left(a+2ab+3b\right)\)
4: \(2ax-2ay+2a=2a\left(x-y+1\right)\)
5: \(=3a\cdot ax-3a\cdot2ay+3a\cdot4=3a\left(ax-2ay+4\right)\)
6: \(=2\cdot2ax-2\cdot ay-2\cdot1=2\cdot\left(2ax-ay-1\right)\)
7: =a^2-(2b)^2
=(a-2b)(a+2b)
8: =(5a)^2-1^2
=(5a-1)(5a+1)
9: =9(16a^2-9)
=9(4a-3)(4a+3)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực \(\left(1^2;2^2\right)\) và \(\left(a^2;4b^2\right)\), ta có:
\(\left(1^2+2^2\right)\left(a^2+4b^2\right)\ge\left(a+4b\right)^2=1\) (do \(a+4b=1\))
\(\Leftrightarrow\) \(5\left(a^2+4b^2\right)\ge1\)
Kết luận: ...
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki với 2 dãy số x;2y và 1;2
Ta có: \(\left(x^2+4y^2\right)\left(1^2+2^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)
\(<=>5\left(x^2+4y^2\right)\ge1^2=1\)
=> ĐPCM, dấu = xảy ra <=> \(\frac{x}{1}=\frac{2y}{2}<=>x=y\)