Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O), kẻ cát tuyến MAB và cát tuyến MCD với (O). Chứng minh MA. MB = MC. MD.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LS
Lê Song Phương
CTVHS
26 tháng 12 2021
Xét đường tròn (O;R) có \(\widehat{MTA}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến MT (tiếp điểm là T) và dây cung TA \(\Rightarrow\widehat{MTA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)
Mà \(\widehat{MBT}\)là góc nội tiếp chắn cung TA \(\Rightarrow\widehat{MBT}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)
\(\Rightarrow\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\right)\)
Xét \(\Delta MTA\)và \(\Delta MBT\), ta có: \(\widehat{BMT}\)chung; \(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MTA~\Delta MBT\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}\Rightarrow MT^2=MA.MB\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có \(MT^2=MC.MD\)(2)
Vì MT là tiếp tuyến tại T của (O) \(\Rightarrow MT\perp OT\)tại T \(\Rightarrow\Delta OMT\)vuông tại T
\(\Rightarrow OM^2=MT^2+OT^2\)\(\Rightarrow MT^2=OM^2-OT^2\)
Đồng thời MT là tiếp tuyến tại T của (O;R) \(\Rightarrow OT=R\)
Như vậy ta có \(MT^2=OM^2-R^2\)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có đpcm.
13 tháng 2 2023
a: ΔOCD can tại O
mà OI là trung tuyến
nên OI vuông góc CD
Xét tứ giác OAMB có
góc OAM+góc OBM=180 độ
=>OAMB là tứ giác nội tiếp
=>O,A,M,B cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM(1)
Vì ΔOIM vuông tại I
nên I nằm trên đường tròn đường kính OM(2)
Từ (1), (2) suy ra ĐPCM
b: Xét ΔMAC và ΔMDA có
góc MAC=góc MDA
góc AMC chung
=>ΔMAC đồng dạng vơi ΔMDA
=>MA/MD=MC/MA
=>MA^2=MD*MC
3 tháng 2 2021
1) Xét (O) có
\(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AD}\)
\(\widehat{MDA}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến MD và dây cung AD
Do đó: \(\widehat{ACD}=\widehat{MDA}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
hay \(\widehat{MCD}=\widehat{MDA}\)
Xét ΔMCD và ΔMDA có
\(\widehat{MCD}=\widehat{MDA}\)(cmt)
\(\widehat{CMD}\) chung
Do đó: ΔMCD∼ΔMDA(g-g)
⇒\(\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{MD}{MA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
nên \(MD^2=MC\cdot MA\)(đpcm)
V
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn O, vẽ các cát tuyến MAB, MCD với đường tròn O, biết AB=CD. Cm: MA=MC
1
AT
15 tháng 7 2021
Vẽ tiếp tuyến ME
Xét \(\Delta MEA\) và \(\Delta MBE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MEA=\angle MBE\\\angle BMEchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MEA\sim\Delta MBE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{MA}{ME}\Rightarrow ME^2=MA.MB\)
Xét \(\Delta MEC\) và \(\Delta MDE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MEC=\angle MDE\\\angle DMEchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MEC\sim\Delta MDE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{MC}{ME}\Rightarrow ME^2=MC.MD\)
\(\Rightarrow MC.MD=MA.MB\Rightarrow MC.\left(MC+CD\right)=MA.\left(MA+AB\right)\)
\(\Rightarrow MC^2+MC.CD-MA^2-MA.AB=0\)
\(\Rightarrow\left(MC-MA\right)\left(MC+MA\right)+CD\left(MC-MA\right)\left(AB=CD\right)\)
\(=\left(MC-MA\right)\left(MC+MA+CD\right)=0\) mà \(MC+MA+CD>0\)
\(\Rightarrow MC=MA\)
PO
10 tháng 4 2022
a) tứ giác AOBM nội tiếp thì có tâm đường tròn là trung điểm OM
cần CM tứ giác OIMB nội tiếp: dùng tổng hai góc đối cộng với nhau bằng 180o, mà đã có OBM=90o, mà I là trung điểm dây cung CD nên OI vuông góc CD luôn => OIM=90o
Vậy tứ giác OIMB nội tiếp thì tâm đường tròn cũng tại trung điểm OM luôn
b) 5 điểm A,I,O,B,M cùng thuộc 1 đtron
=> tứ giác AIOB nội tiếp => góc AIB=AOB (cùng chắn cung)
tứ giác AIOM nội tiếp => góc AIM=AOM (ccc)
mà góc AOM=1/2AOB=AIM=1/2AIB
=> BIM=1/2AIB (đpcm
28 tháng 2 2023
Xét ΔMBC và ΔMDB có
góc MBC=góc MDB
góc BMC chung
=>ΔMBC đồng dạng với ΔMDB
=>MB/MD=MC/MB
=>MB^2=MD*MC
Xét (O) có:
CDA và ABC là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC
=> góc CDA = góc ABC hay góc MDA= gócMBC
Xét tam giác MDA và tam giác MBC có:
góc MDA = góc MBC(cmt)
góc M chung
=> 2 tam giác trên đồng dạng(g.g)
=>\(\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{MA}{MC}\)
=>MA.MB=MC.MD