K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
18 tháng 3 2021

Ta có:

\(P=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c+36abc\right)\)

\(P=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+3+36\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{b^2+c^2}{bc}+\dfrac{c^2+a^2}{ca}+3+36\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{ca}-3+36\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}-3+36\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}+36\left(ab+bc+ca\right)-3\ge2\sqrt{\dfrac{4.36\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}}-3=21\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 3 2021

Lời giải:

Nếu bạn học dồn biến- thừa trừ rồi thì có thể làm như sau:

$P=\frac{ab+bc+ac}{abc}(1+36abc)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+36(ab+bc+ac)=f(a,b,c)$

Giả sử $c=\max(a,b,c)$. Ta sẽ chứng minh $f(a,b,c)\geq f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)$

Thật vậy:

\(f(a,b,c)- f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}+36.\frac{4ab-(a+b)^2}{4}\)

\(=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}-9(a-b)^2=(a-b)^2(\frac{1}{ab(a+b)}-9)\)

Vì $c=\max (a,b,c)$ mà $a+b+c=1\Rightarrow a+b\leq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}(a+b)^2\leq \frac{1}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{ab(a+b)}\geq \frac{27}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{ab(a+b)}-9>0$

Do đó: $f(a,b,c)\geq f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)$

Mà:

$f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)-21=\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}+36[\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)]-21$

$=\frac{4}{1-c}+\frac{1}{c}+9(1-c)^2+36c(1-c)-21$

$=\frac{3c+1}{c(1-c)}+9(1-c)^2+36c(1-c)-21$

$=(3c-1)^2.\frac{3c^2-3c+1}{c(1-c)}\geq 0$ với mọi $1>c\geq \frac{1}{3}$

Do đó $f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)\geq 21$

$\Rightarrow f(a,b,c)\geq 21$

Hay $P_{\min}=21$

NV
23 tháng 1 2021

\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)

\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)

\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)

\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

NV
21 tháng 8 2021

\(Q=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{2}{3}\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b+c}\)

\(Q\ge\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{3}\)

21 tháng 8 2021

∑ cái này nghĩa là gì ạ

31 tháng 3 2022

\(P=2\Sigma a+\Sigma\dfrac{1}{a}=\Sigma a+\Sigma a+\Sigma\dfrac{1}{a}\ge3.\sqrt[3]{\left(\Sigma a\right)^2.\Sigma\dfrac{1}{a}}\)

\(Q=\left(\Sigma a\right)^2.\Sigma\dfrac{1}{a}=\left(3+2\Sigma ab\right).\Sigma\dfrac{1}{a}=3\Sigma\dfrac{1}{a}+4\Sigma a+2\Sigma\dfrac{ab}{c}\ge3\Sigma\dfrac{1}{a}+6\Sigma a=3\left(\Sigma\dfrac{1}{a}+2\Sigma a\right)=3P\)\(\Rightarrow\)\(P\ge3\sqrt[3]{3P}\)   \(\Leftrightarrow P^3\ge81P\Leftrightarrow P^2\ge81\left(P>0\right)\Leftrightarrow P\ge9\)

" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

 

31 tháng 3 2022

Vì $\large a,b,c \in\mathbb{N^*}$ và $\large a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a<\sqrt{3} & \\ b<\sqrt{3} & \\ c<\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 

Với $0 <x<\sqrt{3}$ thì $2x+\frac{1}{x} \ge x^2.\frac{1}{2}+\frac{5}{2}(*)$

Thật vậy $(*)$ $\large \Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2 \le0$

Do $\large x<\sqrt{3}\Leftrightarrow x<2\Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2<0$ (Luôn đúng)

Do đó bất đẳng thức được chứng minh 

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=1$

Trở lại bài toán: 

Áp dụng BĐT $(*)$ ta được:

$\large 2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{15}{2}=9$

Do $a^2+b^2+c^2=3$

Vậy $GTNN=9$

Dấu $"="$ xảy ra khi: $a=b=c=1$

 

 

NV
17 tháng 3 2022

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc\left(a^2+1\right)^2\left(b^2+1\right)^2\left(c^2+1\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{abc}}\)

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3}}=9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(a+b+c\right)^3}}\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{2\left(a+b+c\right)^2}}\)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số \(a^2;b^2;c^2\) luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với \(\dfrac{4}{9}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là \(a^2;b^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+\dfrac{16}{81}\ge\dfrac{4}{9}a^2+\dfrac{4}{9}b^2\)

\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\dfrac{13}{9}a^2+\dfrac{13}{9}b^2+\dfrac{65}{81}\)

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\left(c^2+1\right)\)

\(=\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}\right)\left(\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+c^2+\dfrac{1}{9}\right)\)

\(\ge\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{2}{3}b+\dfrac{2}{3}c+\dfrac{1}{9}\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{9}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)^2}}=9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9\left(a+b+c\right)}\right)^2}\)

\(P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9.2}\right)^2}=\dfrac{13}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{13}{2}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

17 tháng 3 2022

Thầy cho em hỏi cơ sở để ta nghĩ ra dòng

\(\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\) này là gì ạ?

Theo cá nhân em thấy cách giải này hay và dễ hiểu, và có lẽ cũng dựa vào điểm rơi nhưng hình như lời giải chưa tự nhiên lắm thì phải ạ. Thầy có cách nào nữa không thầy? Em cảm ơn ạ.

 

NV
17 tháng 1 2021

Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)

Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:

\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)

Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được

13 tháng 1 2022

Có cách nào làm ngắn hơn ko ạ