cho ab>=1,chứng minh:
1/(1+a^2)+1/(1+b^2)>=2/(1+ab)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 3 2022
Lời giải:
BĐT \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)$
$\Leftrightarrow a^3b+a^2+ab^3+b^2+2ab+2\geq 2a^2b^2+2a^2+2b^2+2$
$\Leftrightarrow a^3b+ab^3+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2$
$\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(ab-1)\geq 0$
Điều này luôn đúng với mọi $ab\geq 1$
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $ab=1$
NN
14 tháng 8 2023
1.
a.\(A=1+2^1+2^2+2^3+...+2^{2007}\)
\(2A=2+2^2+2^3+....+2^{2008}\)
b. \(A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2008}\right)-\left(1+2^1+2^2+..+2^{2007}\right)\)
\(=2^{2008}-1\) (bạn xem lại đề)
2.
\(A=1+3+3^1+3^2+...+3^7\)
a. \(2A=2+2.3+2.3^2+...+2.3^7\)
b.\(3A=3+3^2+3^3+...+3^8\)
\(2A=3^8-1\)
\(=>A=\dfrac{2^8-1}{2}\)
3
.\(B=1+3+3^2+..+3^{2006}\)
a. \(3B=3+3^2+3^3+...+3^{2007}\)
b. \(3B-B=2^{2007}-1\)
\(B=\dfrac{2^{2007}-1}{2}\)
4.
Sửa: \(C=1+4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6\)
a.\(4C=4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6+4^7\)
b.\(4C-C=4^7-1\)
\(C=\dfrac{4^7-1}{3}\)
5.
\(S=1+2+2^2+2^3+...+2^{2017}\)
\(2S=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2018}\)
\(S=2^{2018}-1\)
14 tháng 8 2023
4:
a:Sửa đề: C=1+4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6
=>4*C=4+4^2+...+4^7
b: 4*C=4+4^2+...+4^7
C=1+4+...+4^6
=>3C=4^7-1
=>\(C=\dfrac{4^7-1}{3}\)
5:
2S=2+2^2+2^3+...+2^2018
=>2S-S=2^2018-1
=>S=2^2018-1
TV
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\ge\left(1+a\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}=\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}\)
Cộng vế:
\(\dfrac{1}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\dfrac{a+b}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}=\dfrac{1}{1+ab}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
1 tháng 6 2021
Có \(ab+a+b=1\)
=> (1-a)(b-1) + 2ab = 0
=> 2(1-a)(b-1) + 4ab = 0 (1)
Có ab+a+b=1
=> (a+1)(b+1) = 2 (2)
Thay (2) vào (1) ta có \(\left(1-a^2\right)\left(b^2-1\right)+4ab=0\)
<=> \(a^2+b^2+4ab-a^2b^2-1=0\)
<=> \(2a^2+2b^2+4ab=a^2b^2+a^2+b^2+1\)
<=> \(2\left(a+b\right)^2=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)
HN
1 tháng 6 2021
+)ta có ab+a+b=1
<=>ab=1-a-b
+)(a2+1).(b2+1)=2(a+b)2
<=>a2b2+a2+b2+1-2(a2+2ab+b2)=0
<=>a2b2+a2+b2+1-2a2-4ab-2b2=00
<=>-3ab-a2-b2+1=0
<=>-ab-2ab-a2-b2+1=0
<=>-(a2+2ab+b2)+1-ab=0
<=>1-(a+b)2-ab=0
<=>(1-a-b)(1+a+b)-ab=0
Mà ab+a+b=1=>ab=1-a-b
<=>ab(1+a+b)-ab=0
<=>ab(1+a+b-1)=0
<=>ab(a+b)=0
Mà ab+a+b=1=>ab=1-a-b
=>(1-a-b)(a+b)=0
Tự giải pt sẽ ra !
NH
0
PN
1 tháng 6 2021
Ta có : \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+ab+a+b\right)\left(b^2+ab+a+b\right)\)
\(=\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left(b+1\right)\left(a+b\right)=\left(ab+a+b+1\right)\left(a+b\right)^2\)
\(=\left(1+1\right)\left(a+b\right)^2=2\left(a+b\right)^2\)(đpcm)
