K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
3 tháng 4 2020
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
Đọc tiếp...
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
NA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2021
\(\dfrac{a}{a^4+b^2}+\dfrac{b}{a^2+b^4}\le\dfrac{a}{2\sqrt{a^4b^2}}+\dfrac{b}{2\sqrt{a^2b^4}}=\dfrac{a}{2a^2b}+\dfrac{b}{2ab^2}=\dfrac{1}{ab}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
PD
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2022
\(ab+1\le b\Rightarrow a+\dfrac{1}{b}\le1\)
Đặt \(\left(a;\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y\le1\)
\(P=x+\dfrac{1}{x^2}+y+\dfrac{1}{y^2}=\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{64x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{64y^2}}+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(P\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{32}.\left(\dfrac{4}{1}\right)^2=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\) hay \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2019
Lời giải:
Từ \(ab+a+b=1\) suy ra :
\(a^2+1=a^2+ab+a+b=a(a+b)+(a+b)=(a+1)(a+b)\)
\(b^2+1=b^2+ab+a+b=b(b+a)+(a+b)=(b+1)(a+b)\)
Do đó:
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}=\frac{a}{(a+1)(a+b)}+\frac{b}{(b+1)(a+b)}=\frac{a(b+1)+b(a+1)}{(a+1)(b+1)(a+b)}\)
\(=\frac{ab+(ab+a+b)}{(a+1)(b+1)(a+b)}=\frac{ab+1}{(a+1)(b+1)(a+b)}(*)\)
Và:
\(\frac{ab+1}{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)}}=\frac{ab+1}{\sqrt{2(a+1)(a+b)(b+1)(a+b)}}=\frac{ab+1}{\sqrt{(ab+a+b+1)(a+1)(b+1)(a+b)^2}}\)
\(=\frac{ab+1}{\sqrt{(a+1)(b+1)(a+1)(b+1)(a+b)^2}}=\frac{ab+1}{(a+1)(b+1)(a+b)}(**)\)
Từ $(*); (**)$ ta có đpcm.
20 tháng 12 2020
\(VT=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le_{AM-GM}\dfrac{a+b+a+c}{2}+\dfrac{b+c+b+a}{2}+\dfrac{c+a+c+b}{2}=2\left(a+b+c\right)=VP\) (đpcm)
HH
23 tháng 1 2021
Đầy đủ hơn 1 tí nhé
Theo gt : ab + bc + ca = 1 nên a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca
= ( a + b )( a + c )
- Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\)
- Tương tư ta cũng có :
\(\sqrt{b^2+1}\le\frac{\left(b+a\right)+\left(b+c\right)}{2}\)và \(\sqrt{c^2+1}\le\frac{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)
Từ đó suy ra : VT \(\le\frac{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(b+a\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)
\(\le2\left(a+b+c\right)=VP\left(đpcm\right)\)
UK
11 tháng 12 2017
1) Đề sai. Như thế này mới đúng.
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b+a}{ba}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
2) Áp dụng bài 1), ta có:
\(P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
\(P\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{4}}=4+2=6\)
MinP là 6 khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
HT
2
C
23 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương:
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2bc}}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{ac}{ab^2c}}=\frac{2}{b}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên. ta được:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(đpcm\right)\)
3 tháng 4 2020
cho a,b,c>0.
Chứng minh a/ bc + b/ac + c/ab > =2(1/a +1/b - 1/c)
.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\ge\left(1+a\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}=\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}\)
Cộng vế:
\(\dfrac{1}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\dfrac{a+b}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}=\dfrac{1}{1+ab}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)