Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1\). Chứng tỏ rằng trong 3 số a,b,c tồn tại a,b,c tồn tại 1 số không âm, tồn tại 1 số không dương.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 2 2021
`1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)`
`<=>(a+b)/(ab)+(a+b)/(c(a+b+c))=0`
`<=>(a+b)(ab+ac+bc+c^2)=0`
`<=>(a+b)(a+c)(b+c)=0`
`=>` $\left[ \begin{array}{l}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{array} \right.$
`=>` PT luôn tồn tại 2 số đối nhau
2 tháng 3 2022
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2016}\)
\(\Rightarrow\dfrac{bc+ac+bc}{abc}=\dfrac{1}{2016}\)
\(\Rightarrow\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc=abc\)
\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow a=-b\) hay \(b=-c\) hay \(c=-a\)
-Vậy trong ba số a,b,c tồn tại 2 số đối nhau.
13 tháng 4 2017
Câu hỏi của Linh Suzu - Toán lớp 7 | Học trực tuyến, nhớ tìm trước khi hỏi, lần sau t ko tìm đâu
25 tháng 1 2017
Giả sử trong 4 số a;b;c;d không tồn tại 2 số bằng nhau
Không mất tính tổng quát ta giả sử a < b < c < d
=> a2 < b2 < c2 < d2 (do a;b;c;d nguyên dương)
=> \(\frac{1}{a^2}>\frac{1}{b^2}>\frac{1}{c^2}>\frac{1}{d^2}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{a^2}>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1\)
=> a2 < 4
=> a < 2 (1)
Lại có: \(\frac{1}{a^2}\)< 1 (theo đê bai)
=> a2 > 1
=> a > 1 (do a nguyên dương) (2)
Từ (1) và (2) => 1 < a < 2, mâu thuẫn với đề là a nguyên dương
Như vậy trong 4 số đã cho luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau (đpcm)
10 tháng 12 2017
Câu hỏi của không cần biết - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
AT
17 tháng 7 2017
Theo bài ra ta có:
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(=\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=bc+ac+ab\)
Ta lại có:
\(\left(a.b.c-1\right)+\left(a+b+c\right)-\left(bc+ca+ab\right)=0\)
\(=>\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(=>\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT.........
CC
18 tháng 7 2017
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\\ \Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{bc+ac+ab}{abc}\\ \Leftrightarrow a+b+c=bc+ac+ab\\ \Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ac+abc-1=0\\ -a\left(b-1\right)-c\left(b-1\right)+ac\left(b-1\right)+\left(b-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(-a-c+ac+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
Gs a+b+c>1/a+1/b+1/c nhưng không t/m một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1 TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1) TH2 có 2 số lớn hơn 1 Gs a>1,b>1,c<1 suy ra a-1>0,b-1>0,c-1<0 suy ra (a-1)(b-1)(c-1)<0 suy ra abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0 suy ra a+b+c<ab+bc+ca suy ra a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b suy ra a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai) suy ra đpcm