1. Cho a,b $\ge$0 và a b$\le$2 . Chứng minh $\frac{2 \alpha}{1 \alpha} \frac{1-2b}{1 2b}\ge\frac{8}{7}$2. Tìm x: \(\frac{\frac{2x-1}{2}-3}{4}-\frac{4-\frac{1 2x}{3}}{2}=\frac{5-\frac{1}{2}X}{6}-...

chứng minh các BĐT 1.$\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{b+d}{d+a}\ge4$với a,b,c,d >02.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+d}+\frac{1}{2c+d+a}+\frac{1}{2d+a+b}\right)$3.$\frac{1}{a^4+b^4+c^4}+\frac{2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\ge\left(\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\right)^2\\ $với a,b,c>04.$\frac{1}{3x-2}-\frac{1}{x-10}+\frac{1}{13-2x}\ge\frac{3}{7}$vói x,y t/m\(\frac{2}{3}< x<...

#Toán lớp 8

0

SK

Sakura Kinomoto

19 tháng 9 2016

1, cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(a+2c\right)}$ 2,cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 chứng minh rằng $1\le x\le\frac{7}{3}$ 3, cho a,b,c>0 chứng minh rằng$\frac{a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{b^2}{2b^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{c^2}{2c^2+\left(b+a-c\right)^2}\le1$ 4,cho a,b,c là các số thực bất kỳ chứng...

0

NT

Nghiêm Thị Nhân Đức

25 tháng 2 2020

1

CM

Copxki Minh

2 tháng 12 2020

Đặt $\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)$

$x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}$

$\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}$

$\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)$

$\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

1. Cho a,b,c > 0. Cmr: a) $\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1$ b) $\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}$ 2. Cho $x,y,z0;x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge3;\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge2;\frac{z}{5}\ge1.MaxP=x^2+y^2+z^2$ 3. Cho $x0;y\ge2;2x+y+xy\ge6.MinP=x^3+y^2$ 4. Cho $0 \alpha \beta \gamma$. Giả sử x,y,z > 0 TM...

BN

bach nhac lam

4 tháng 1 2020

6

AH

Akai Haruma

Giáo viên

5 tháng 1 2020

Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.

Bài 1:

a)

$2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$

Do đó: $2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

b)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)$

$=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$

$\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

5 tháng 1 2020

Lý giải xíu chỗ $3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$ cho bạn nào chưa rõ:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^3+ac^2)+(b^3+a^2b)+(c^3+b^2c)+(ab^2+bc^2+ca^2)$

$\geq 2a^2c+2ab^2+2bc^2+(ab^2+bc^2+ca^2)=3(ab^2+bc^2+ca^2)$

DL

Diệu Linh

20 tháng 2 2020

1, cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(2a+c\right)}$

2, cho x,y,z thuộc R và x+y+z=5 và xy +yz+xz=8 chứng minh răng $1\le x\le\frac{7}{3}$

1) cho 2a + 5b = 7. Tìm GTLN của 3a2 + 2b22) cho 3a - 5b = 8. chứng minh 7a2 +1 1b2$\ge\frac{2464}{137}$3) tìm GTLN của :a)A = 3x + $3\sqrt{3-x^2}$ với $-\sqrt{3}\le x\le\sqrt{3}$b) B= (x + 3)(5 - 2x) với $-3\le x\le\frac{5}{2}$c)C = (6x + 3)(5 - 2x) với $\frac{-1}{2}\le x\le\frac{5}{2}$4) Tìm GTNN của...

0

VA

Vân Anh

3 tháng 5 2016

bài 1: giải các bất phương trình sau: 1) (x-3)(4-x)≥0 2) $\frac{1+2x}{3x-4}< 0$ 3) (x+1)(x-1)(3x-6)>0 4) 3x(2x+7)(9-3x)≥0 5) $\frac{\left(2x-5\right)\left(x+2\right)}{-4x+3}>0$ 6) $\frac{2}{x-1}\le\frac{5}{2x-1}$ 7) $\frac{x-3}{x+1}\frac{x+5}{x-2}$ 8)...

#Toán lớp 8

0

MM

Mộc Miên

17 tháng 3 2020

Đề bàiGiải mỗi bất phương trình sau:a) ${3^x} > \frac{1}{{243}}$b) ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{3x - 7}} \le \frac{3}{2}$c) ${4^{x + 3}} \ge {32^x}$d) $\log (x - 1) < 0$e) ${\log _{\frac{1}{5}}}(2x - 1) \ge {\log _{\frac{1}{5}}}(x + 3)$f) \(\ln (x + 3) \ge \ln (2x -...

#Toán lớp 10

0

B

Buddy

13 tháng 8 2023

#Toán lớp 11

2

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

22 tháng 8 2023

$a,3^x>\dfrac{1}{243}\\ \Leftrightarrow3^x>3^{-5}\\ \Leftrightarrow x>-5\\ b,\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3x-7}\le\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow3x-7\le1\\ \Leftrightarrow3x\le8\\ \Leftrightarrow x\le\dfrac{8}{3}\\ c,4^{x+3}\ge32^x\\ \Leftrightarrow2^{2x+6}\ge2^{5x}\\ \Leftrightarrow2x+6\ge5x\\ \Leftrightarrow3x\le6\\ \Leftrightarrow x\le2$

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

22 tháng 8 2023

d, Điều kiện: x > 1

$log\left(x-1\right)< 0\\ \Leftrightarrow x-1< 1\\ \Leftrightarrow1< x< 2$

e, Điều kiện: $x>\dfrac{1}{2}$

$log_{\dfrac{1}{5}}\left(2x-1\right)\ge log_{\dfrac{1}{5}}\left(x+3\right)\\ \Leftrightarrow2x-1\ge x+3\\ \Leftrightarrow x\ge4$

f, Điều kiện: x > 4

$ln\left(x+3\right)\ge ln\left(2x-8\right)\\ \Leftrightarrow x+3\ge2x-8\\\Leftrightarrow4< x\le11$

Dạng 1: Bất đẳng thức cô-si Bài 1 : Cho a,b.c>0 Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+ca^2$từ đó Chứng minh dạng tổng quát là : $a^x+b^x+c^x\ge a^m.b^n+b^m.c^n+c^m.a^n$ ( m,n,x là các số nguyên dương và m+n=x)Bài 2: Cho a,b.c>0a)Chứng minh rằng $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge a+b+c$ b) Chứng minh rằng $\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge a+b+c$ ( cả 2 câu này cach làm như nhau nhé !)Bài 3 :Cho a,b,c>...

VT

Vũ Thu Mai

2 tháng 1 2018

#Toán lớp 1

4

TT

trần thành đạt

2 tháng 1 2018

bài 1 a, hình như có thêm đk là a+b+c=3

TT

trần thành đạt

2 tháng 1 2018

Bài 4 nha

Áp dụng BĐT cô si ta có

$\frac{1}{x^2}+x+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.x.x}=3.$

Tương tự với y . $A\ge6$dấu = xảy ra khi x=y=1

1) Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ và với mọi $\alpha,\beta,\gamma>0$ luôn có $\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}$. 2) Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$luôn có ...

AA

Admin (a@olm.vn)

Admin VIP

22 tháng 3 2021

1

NM

Nguyễn Minh Đăng

22 tháng 3 2021

1) Trước hết ta sẽ chứng minh BĐT với 2 số

Với x,y,z,t > 0 ta luôn có: $\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{t}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}$

BĐT cần chứng minh tương đương:

$BĐT\Leftrightarrow\frac{x^2t+z^2y}{yt}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\Leftrightarrow\left(x^2t+z^2y\right)\left(y+t\right)\ge yt\left(x+z\right)^2$

(Biến đổi tương đương)

Khi bất đẳng thức trên đúng ta sẽ CM như sau:

$\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\alpha+\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}$