Cho a/b<c/d va b>0,d>0
Chứng Minh Rằng:a/b<a+c/b+d<c/d
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 1 2022
\(\Leftrightarrow ab-4a+3b-12-\left(ab+4a-3b-12\right)=0\)
=>-4a+3b-4a+3b=0
=>-8a=-6b
=>4a=3b
hay a/3=b/4
T
2 tháng 10 2023
\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\\\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\\\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0\\\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0\)
Ta thấy: \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\forall b;c\)
\(\left(a-c\right)^2\ge0\forall a;c\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\forall a;b;c\)
Mặt khác: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\left(dpcm\right)\)
#\(Toru\)
LL
3
30 tháng 6 2021
$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
$\Leftrightarrow 2a+2b+2c \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$
$\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a \ge 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2 \ge 0$ luôn đúng với $a,b,c \ge 0$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
30 tháng 6 2021
Ta có: \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)
NM
1
T
20 tháng 8 2023
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
Mặt khác: \(a^2\ge0\forall a;b^2\ge0\forall b;c^2\ge0\forall c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge0\)
Suy ra: \(2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)^2=0\) (1)
Lại có: \(a^4+b^4+c^4\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\right]\)
\(=0-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+2\left(ab+bc+ac\right)-2\left(ab+bc+ac\right)\right]\)
\(=-2\left(ab+bc+ac\right)^2-4\left(ab+bc+ac\right)\)
\(=0\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2=0\)
hay \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+ac+bc\right)^2\)
Kiểm tra hộ mình xem có đúng không ạ!
NM
2
3 tháng 8 2019
\(\left(a+c\right)\left(b-d\right)=\left(a-c\right)\left(b+d\right)\)
\(\Leftrightarrow ab-ad+bc-cd=ab+ad-bc-cd\)
\(\Leftrightarrow-ad+bc=ad-bc\)
\(\Leftrightarrow2bc=2ad\)
\(\Leftrightarrow bc=ad\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (đpcm)
18 tháng 4 2023
đb bị thiếu nhá bn, mik bổ sung ns sẽ thành: thỏa mãn a\(\le b\le c\)
30 tháng 10 2021
a: Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{bk}{bk-b}=\dfrac{k}{k-1}\)
\(\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{dk}{dk-d}=\dfrac{k}{k-1}\)
Do đó: \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 4 2021
Lời giải:
a)
$\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}$
$\Leftrightarrow \frac{ad-bc}{bd}< 0$
Vì $bd>0$ với mọi $b,d>0$ nên $ad-bc< 0\Leftrightarrow ad< bc$
b) Từ phần a suy ra $bc-ad>0$
$\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+d)}{b(b+d)}=\frac{bc-ad}{b(b+d)}>0$ do $bc-ad>0$ và $b(b+d)>0$ với mọi $b,d>0$)
$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}>\frac{a}{b}$
Lại có:
$\frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{d}=\frac{d(a+c)-c(b+d)}{d(b+d)}=\frac{ad-bc}{d(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $d(b+d)>0$ với mọi $b,d>0$
$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}$
Ta có đpcm.