Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh...
Đọc tiếp
Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HA
0
TQ
0
NA
27 tháng 8 2021
Bài 1: |x − 1| + |x + 2| = x − 3 (*)
Xét x < - 2 thì phương trình (*) có dạng:
(1 - x) + ( - x - 2 ) = x - 3
<=> - 2x - 1 = x - 3
<=> 3x = 2 <=> \(x = {{2} \over 3}\)( Loại)
Xét - 2 ≤ x ≤ 1 thì phương trình (*) có dạng:
(1 - x ) + ( x + 2 ) = x - 3
<=> x - 3 = 3
<=> x = 6 ( Loại )
Xét x > 1 phương trình (*) có dạng:
x - 1 + x + 2 = x - 3
<=> 2x + 1 = x - 3
<=> x = - 4 ( Loại)
Vậy phương trình vô nghiệm
ND
Nguyễn Đăng Nhân
CTVHS
19 tháng 2 2022
Ta viết lại bất đẳng thức trên thành:
\(\frac{a-b}{b}-\frac{a-b}{c}+\frac{c-a}{a}-\frac{c-a}{c}\ge\frac{\left(a-c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
Hay: \(\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{bc}+\frac{\left(c-a\right)^2}{ca}\ge\frac{\left(a-c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
Tiếp tục khai triển và thu gọn ta được:
\(\Leftrightarrow b\left(c-a\right)^2\left(b^2+ab+bc\right)\ge a\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-ac\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng hay bài toán được chứng minh xong.
P =\(\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}}\)
\(=1.\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+1.\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+1.\sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}\right)}=\sqrt{3.2}=\sqrt{6}\)(BĐT Bunyakovsky)