Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB < CD) có các đường phân giác trong của các góc A, B, C, D cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, DC.a) Chứng minh: góc AOD = góc BOC...

0

HD

Huỳnh Diệu Bảo

27 tháng 1 2017

Cho hình thang ABCD có AB// CD; AC cắt BD tại O. Gọi M là trung điểm của CD. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AOD và tam giác BOC cắt nhau ở K khác O. Chứng minh góc KOC= góc MOD

#Toán lớp 9

1

TQ

Trần Quốc Đạt

27 tháng 1 2017

Đầu tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp \(\left(O\right)\). Tiếp tuyến tại \(B,C\) của \(\left(O\right)\) cắt nhau tại \(T\). \(TA\) cắt lại \(\left(O\right)\) tại \(D\). \(M\) là trung điểm \(BC\). CM: \(\widehat{BAD}=\widehat{MAC}\).

Giải: Gọi \(L\) là trung điểm \(AD\). Khi đó \(\widehat{OBT}=\widehat{OCT}=\widehat{OLT}=90^o\) nên ngũ giác \(TBLOC\) nội tiếp.

Do vậy, \(\widehat{BLT}=\widehat{BCT}=\widehat{BDC}\). Suy ra cặp góc bù với chúng là \(\widehat{BLD}=\widehat{BAC}\).

Đến đây chứng minh được tam giác \(BLD,BAC\) đồng dạng.

Lập tỉ lệ cạnh rồi dựa vào trung điểm chứng minh được tam giác \(BAD,MAC\) đồng dạng.

Vậy 2 góc cần chứng minh bằng nhau (đpcm).

-------

Trở lại bài toán. (Ở phần dưới mình có dùng tính chất của phương tích và trục đẳng phương. Tuy ko có trong chương trình nhưng nó khá dễ và chứng minh được bằng kiến thức lớp 9. Bạn có thể tự tìm hiểu thêm).

Với lại hình của mình hơi sai một chút, mong bạn thông cảm.

Ý tưởng là ta sẽ chứng minh \(KO\) và hai tiếp tuyến tại \(C,D\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DOC\) đồng quy. Nếu làm được điều đó thì theo bổ đề trên sẽ có đpcm.

\(AB\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AOD,BOC\) lần lượt tại \(E,F\).

Khi đó \(\widehat{EDO}=\widehat{EAO}=\widehat{OCD}\) nên CM được \(ED\) tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DOC\).

CM tương tự thì \(FC\) cũng vậy.

Bây giờ cho \(ED\) cắt \(FC\) tại \(L\).

(Bạn thử tự CM \(LE=LF,LD=LC\) xem).

Do đó \(LE.LD=LF.LC\) nên điểm \(L\) có cùng phương tích đến 2 đường tròn 2 bên.

Vậy điểm \(L\) nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn này, tức là đường thẳng \(OK\).

Ta đã CM được 3 đường cần CM đồng quy, theo bổ đề suy ra đpcm.

Bài 4 ( 3,0đ): Cho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đường phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân giác của góc B cắt CD tại N.a) Chứng minh AM = CNb) Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành.c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M và N trên BN và DM. Chứng minh hai đoạn thẳng AC, HK và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi...

NN

Nam Nguyễn

19 tháng 11 2021

0

VX

Vũ Xuân Thọ

10 tháng 7 2015

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD (AB<CD). Các tia phân giác góc A và B cắt nhau tại K, K thuộc CD. Tia phân giác góc D cắt tia phân giác góc A tại P. Tia phân giác góc C cắt tia phân giác góc B tại Q. Chứng minh rằng:

a) DP vuông góc với AK, CQ vuông góc với BK

b) PQ nằm trên đường trung bình của hình thang ABCD

Cho bình bình hành ABCD có AB > BC. Đường phân giác góc D cắt AB tại M, đường phân giác góc B cắt CD tại N.a) Chứng minh AM = CN.b) Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành.c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M và N trên BN và DM. Chứng minh hai đoạn thẳng AC và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi...

0

WS

White Silver

19 tháng 10 2021

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

19 tháng 10 2021

a: Xét ΔADM và ΔCBN có

\(\widehat{ADM}=\widehat{CBN}\)

AD=CB

\(\widehat{A}=\widehat{C}\)

Do đó: ΔADM=ΔCBN

Suy ra: AM=CN

PT

Pham Trong Bach

15 tháng 2 2017

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, K, N, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: O M O N = A B C D

1

CM

Cao Minh Tâm

15 tháng 2 2017

Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.

Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:

Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Giúp mình đicho hình bình hành ABCD có AB>BC. Đường phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân gicas của góc B cắt CD tại N. a) Chứng minh AM=CN.b) Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành.c) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của M và N trên BN và DM. Chứng minh hai đoạn thẳng AC và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi...

DT

Dĩnh Trương

19 tháng 10 2021

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

19 tháng 10 2021

a: Xét ΔADM và ΔCBN có

\(\widehat{ADM}=\widehat{CBN}\)

AD=CB

\(\widehat{A}=\widehat{C}\)

Do đó: ΔADM=ΔCBN

Suy ra: AM=CN

Giúp mình nhé, các bạn không cần vẽ hình nha. Thanks.1) Cho ABCD là hình thang cân ( AB // CD ) a) Biết góc B = 2 lần góc D. Tính các góc của hình thang. b) phân giác của góc b và góc C cắt nhau tại điiểm I. Chứng minh tam giác BIC VUÔNG.2) ABCD là hình thang ( AB//CD ), M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh nếu MN vuông góc vs AB thì ABCD là hình thang...

HL

huy lê

7 tháng 9 2016

0

DN

Đạt Nguyễn

16 tháng 8 2021

Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB ≠ CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. H và K là hình chiếu vuông góc của M, N trên BC và AD. Gọi O là trung điểm của CD. KN cắt MH tại I. Chứng minh a) IN OM ; IM ON b) IO CD ; IC = ID

0

PT

Pham Trong Bach

16 tháng 1 2019

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, K, N, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: O H O K = B C A D

1

CM

Cao Minh Tâm

16 tháng 1 2019

Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.

Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:

OE = OF

Từ đó, ta có:

S A E O = S B F O (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

S D E O = S C F O (2)

Từ (1) và (2) suy ra : S O A D = S O B C (3)

Suy ra: OH.AD = OK.BC

⇔ Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8