Question

[Any Ciu]

Cho đường tròn ( O) và điểm M nằm ngoài (O). Vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB với (O). Lấy N bất kì trên cung nhỏ AB tiếp tuyến Tại N cắt AM,BM tại C và D a) chứng minh A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn b) chứng minh chu vi tam giác MCD không phụ thuộc vị trí điểm N c) Gọi K là giao điểm của OC và AB. Chứng minh tam giác CKA đồng dang với tam giác ODC d) Vẽ đường kinh AE, BF của(O). Kể OH vuông góc với ME. Chứng minh FE, MA, OH đồng quy

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/ 

Ta có A và B cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông => B và B thuộc đường tròn đường kính MO => A, B, M, O cùng nằm trên 1 đường tròn

b/

Ta có

\(C_{MCD}=MC+MD+CD=\left(MC+NC\right)+\left(MD+ND\right).\) 

Ta có

MA = MB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

NC=AC; ND = BD (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

\(\Rightarrow C_{MCD}=\left(MC+AC\right)+\left(MD+BD\right)=MA+MB=2MA\)

M cố định; A cố định => MA không đổi \(\Rightarrow C_{MCD}=2MA\) không đổi => \(C_{MCD}\) không phụ thuộc vị trí điểm N

c/

Xét tg vuông NOC và tg vuông AOC có

OC chung

NC = AC (cmt)

\(\Rightarrow\Delta NOC=\Delta AOC\) (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OCD}\) (1)

Gọi P là giao OC với (O) và Q là giao của OD với (O)

Ta có

sđ cung AP = sđ cung NP; sđ cung BQ = sđ cung NQ (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi cung giới hạn bởi hai tiếp điểm)

=> sđ cung NP = 1/2 sđ cung AN; sđ cung NQ = 1/2 sđ cung BN

=> sđ cung NP + sđ cung NQ = sđ cung PQ = 1/2 sđ cung AN + 1/2 sđ cung BN = 1/2 sđ cung AB

\(\Rightarrow\widehat{COD}=sđ\) cung PQ = 1/2 sđ cung AB (góc ở tâm)

Ta có \(\widehat{CAB}=\)1/2 sđ cung AB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) (2)

Xét tg CKA và tg ODC có

\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD;}\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) => tg CKA đồng dạng với tg ODC (g.g.g)

d/

Gọi I là giao của EF với MA

Xét tg OAB và tg OEF có

OA = OE; OB = OF (đều là bán kính (O))

\(\widehat{AOB}=\widehat{EOF}\) (góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OEF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{IEO}\) => AB // EF (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 đường thẳng tạo thành 2 góc so le trong = nhau thì // với nhau)

Ta có \(MO\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)

\(\Rightarrow MO\perp EF\) (đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng // với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại)

Xét \(\Delta MIE\) có

\(EA\perp MI;MO\perp EF\) => O là trực tâm của tg MIE => OH là đường cao thuộc cạnh ME => OH phải đi qua I => EF; MA; OH đồng quy tại I