cho x,y là các số nguyên thỏa mãn:(x^2+1)chia hết cho(xy +1). Chứng minh (y^2+1) chia hết cho (xy+1)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KV
8 tháng 9 2023
a) x(x² + x) + x(x + 1)
= x²(x + 1) + x(x + 1)
= (x + 1)(x² + x)
= x(x + 1)² ⋮ (x + 1)
b) xy² - yx² + xy
= xy(y - x + 1) ⋮ xy
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 6 2021
Lời giải:
$x^2-3xy+y^2\vdots 25(1)$
$\Rightarrow x^2-3xy+y^2\vdots 5$
$\Leftrightarrow (x+y)^2-5xy\vdots 5$
$\Leftrightarrow (x+y)^2\vdots 5$
$\Rightarrow x+y\vdots 5$
$\Rightarrow (x+y)^2\vdots 25$
$\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\vdots 25(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 5xy\vdots 25$
$\Rightarrow xy\vdots 5$
Do đó $x$ hoặc $y$ chia hết cho $5$
Không mất tổng quát giả sử $x\vdots 5$
Do $x^2-3xy+y^2\vdots 25\vdots 5$ nên $y^2\vdots 5$
$\Rightarrow y\vdots 5$
$\Rightarrow xy\vdots 25$
Ta có đpcm.
HH
0
Vì x^2+1 chia hết xy+1 nên y^2(x^2+1) chia hết xy+1
hay x^2y^2 +y^2 chia hết xy+1.
Ta có x^2y^2+y^2=(x^2y^2 +2xy+1) +y^2 -2xy-1 Thêm và bớt 2xy+1
=(x^2y^2 +2xy+1) -2(xy+1) +y^2+1
=(xy+1)^2 -2(xy+1) +y^2+1 suy ra y^2+1 chia hết xy+1
Vì x^2+1 chia hết xy+1 nên y^2(x^2+1) chia hết xy+1
Hay x^2y^2 +y^2 chia hết xy+1.
Ta có x^2y^2+y^2=(x^2y^2 +2xy+1) +y^2 -2xy-1 Thêm và bớt 2xy+1
=(x^2y^2 +2xy+1) -2(xy+1) +y^2+1
=(xy+1)^2 -2(xy+1) +y^2+1 suy ra y^2+1 Chia hết xy+1