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\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=-2\overrightarrow{c}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)^2=\left(-2\overrightarrow{c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+\overrightarrow{c}^2+2\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}\right)=4\overrightarrow{c}^2\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{4x^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=\dfrac{3x^2-y^2-z^2}{2}\)
Tính \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) hả bạn?
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=2.\sqrt{3}.cos30^0=3\)
Tính \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\)
Lời giải:
Xét hai vecto bất kỳ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\). Kẻ vecto $\overrightarrow{CT}$ sao cho $\overrightarrow{CT}=\overrightarrow{BA}$
Ta có:
\(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{TD}|\)
\(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{TC}|+|\overrightarrow{CD}|\)
Mà theo bđt tam giác thì:
\(|\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CD}|\geq |\overrightarrow{TD}|\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|+\overrightarrow{CD}|\geq |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}|\)
Dấu "=" xảy ra khi \(T, C,D\) thẳng hàng và $C$ nằm giữa $T,D$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{TC}, \overrightarrow{CD}$ cùng hướng
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}$ cùng hướng
Vậy với $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ bất kỳ thì $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\geq |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$. Dấu "=" xảy ra khi $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng hướng.
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Áp dụng vào bài toán:
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|\leq |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|\leq |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) cùng hướng và \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) cùng hướng
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) cùng hướng
\(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(1+0;-2+3\right)=\left(1;1\right)\).
\(\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(0-1;3-\left(-2\right)\right)=\left(-1;5\right)\).
\(\overrightarrow{z}=3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}=3\left(1;-2\right)-4\left(0;3\right)=\left(3;-6\right)-\left(0;12\right)\)\(=\left(3;-18\right)\).
\(\overrightarrow{x}\) ⊥ \(\overrightarrow{y}\)
⇒ \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{b}\right)=0\). Đặt \(\left|\overrightarrow{a}\right|=a;\left|\overrightarrow{b}\right|=b\)
⇒ 2a2 - \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) + 2\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) - b2 = 0
⇒ \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) = b2 - 2a2 = 4 - 4 = 0
⇒ \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=90^0\)
Giả thiết => cos \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{1}{2}\)
⇒ \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=60^0\)
\(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\)\(=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\).
\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\)\(=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\).
\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\left|\overrightarrow{b}\right|^2\)\(=\left|\overrightarrow{a}\right|^2-\left|\overrightarrow{b}\right|^2\).
a: Đặt \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\)
\(\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\)=AB+BC
|vecto a+vecto b|=|vecto AB+vecto BC|=AC
AB+BC=AC
=>A,B,C thẳng hàng
=>vecto AB và vecto BC cùng hướng
c: |vecto a+vecto b|=|vecto a-vecto b|
=>vecto a+vecto b=vecto a-vecto b hoặc vecto a+vecto b=vecto b-vecto a
=>vecto b=vecto0 hoặc vecto a=vecto 0
Ta có:
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{c}\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=9\overrightarrow{c}^2\)
<=> \(\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=9\overrightarrow{c}^2\)
<=> \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\dfrac{9z^2-x^2-y^2}{2}\)
Tương tự ta có: \(\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}\) <=> \(\left(\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\right)^2=\overrightarrow{a}^2\)
<=> \(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\dfrac{x^2-y^2-9z^2}{2}\)
Và lại có : \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=\dfrac{y^2-x^2-9z^2}{2}\)
Suy ra: A=\(\dfrac{9z^2-x^2-y^2}{2}+\dfrac{x^2-y^2-9z^2}{2}+\dfrac{y^2-x^2-9z^2}{2}=\dfrac{3z^2-z^2-y^2}{2}\)