Bạn đã like Trang để nhận thông báo mới nhất về cuộc thi chưa?Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | FacebookCó câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu-------------------------------------------------------------------[Toán.C45 _ 3.2.2021]Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Bà Rịa - Vũng Tàu, 2019-2020: Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(x+y\le3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu...
Đọc tiếp
Bạn đã like Trang để nhận thông báo mới nhất về cuộc thi chưa?
Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook
Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:
[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu
-------------------------------------------------------------------
[Toán.C45 _ 3.2.2021]
Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Bà Rịa - Vũng Tàu, 2019-2020: Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(x+y\le3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{5}{x+2y+5}\).
[Toán.C46 _ 3.2.2021]
Trích câu 10, đề thi tuyển sinh THPT Bắc Ninh, 2019-2020: Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn \(a^2+b^2=2.\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\dfrac{a^3+b^3+4}{ab+1}\).
[Toán.C47 _ 3.2.2021]
Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Bình Định, 2019-2020: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\).
[Toán.C48 _ 3.2.2021]
Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Đắc Lắc, 2019-2020: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x + 2y + 3z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(S=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\dfrac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\dfrac{3xz}{3xz+4y}}\)
Đây là cách của em.
Ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{27}{16}\cdot\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b+c}\)
\(\bullet\) Nếu \(c\ne \text{mid}\{a,b,c\}\) thì \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\le a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\) từ đây đưa về đối xứng và chứng minh dễ dàng.
\(\bullet\) Nếu \(c= \text{mid}\{a,b,c\}.\) Chuẩn hóa \(a+b=1\Rightarrow0\le c\le1.\) Đặt \(x=ab\Rightarrow0< x\le c\left(1-c\right)\)
Cần chứng minh
\(f(x)=108\,{x}^{2}+ \left( 16\,{c}^{3}+84\,{c}^{2}+12\,c-83 \right) x+ \left( c+1 \right) \left( 16\,{c}^{4}+8\,{c}^{3}-16\,{c}^{2}-19\,c+ 16 \right) \ge 0\)
\(f'(x)=16\,{c}^{3}+84\,{c}^{2}+12\,c+216\,x-83 \)
*Nếu $0 \le c \le \dfrac{1}{2}$ thì \(f'\left(x\right)\le\left(2c-1\right)\left(8c^2-62c+83\right)\le0\)
Khi đó $f(x)$ là hàm nghịch biến nên \(f\left(x\right)\ge f\left(c\left(1-c\right)\right)=2\left(8c^2-11c+8\right)\left(2c-1\right)^2\ge0\)
*Nếu $\dfrac{1}{2} \le c \le 1$ thì \(\Delta_x= \left( 64\,{c}^{4}-992\,{c}^{3}-1740\,{c}^{2}-788\,c-23 \right) \left( 2\,c-1 \right) ^{2}\le 0\)
ta có điều phải chứng minh
:D
Lâu rồi mới đăng bài vì mấy bài kia khó quá :vv
C39:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a>0\\y+z+4x=b>0\\z+x+16y=c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b-a}{3}\\y=\dfrac{c-a}{15}\\z=\dfrac{21a-5b-c}{15}\end{matrix}\right.\).
Khi đó áp dụng bđt AM - GM ta có:
\(P=\dfrac{5b+c-6a}{15a}+\dfrac{4a-b}{3b}+\dfrac{16a-c}{15c}=\left(\dfrac{b}{3a}+\dfrac{4a}{3b}\right)+\left(\dfrac{c}{15a}+\dfrac{16a}{15c}\right)-\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}\right)\ge\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{15}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{15}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=2a\\c=4a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z+4x=2\left(x+y+z\right)\\z+x+16y=4\left(x+y+z\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y+z\\4y=x+z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow21x=35z=15z\).