K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 1 2021

Đây là cách của em.

Ta chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{27}{16}\cdot\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b+c}\)

\(\bullet\) Nếu \(c\ne \text{mid}\{a,b,c\}\) thì \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\le a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\) từ đây đưa về đối xứng và chứng minh dễ dàng.

\(\bullet\) Nếu \(c= \text{mid}\{a,b,c\}.\) Chuẩn hóa \(a+b=1\Rightarrow0\le c\le1.\) Đặt \(x=ab\Rightarrow0< x\le c\left(1-c\right)\)

Cần chứng minh

\(f(x)=108\,{x}^{2}+ \left( 16\,{c}^{3}+84\,{c}^{2}+12\,c-83 \right) x+ \left( c+1 \right) \left( 16\,{c}^{4}+8\,{c}^{3}-16\,{c}^{2}-19\,c+ 16 \right) \ge 0\)

\(f'(x)=16\,{c}^{3}+84\,{c}^{2}+12\,c+216\,x-83 \)

*Nếu $0 \le c \le \dfrac{1}{2}$ thì \(f'\left(x\right)\le\left(2c-1\right)\left(8c^2-62c+83\right)\le0\)

Khi đó $f(x)$ là hàm nghịch biến nên \(f\left(x\right)\ge f\left(c\left(1-c\right)\right)=2\left(8c^2-11c+8\right)\left(2c-1\right)^2\ge0\)

*Nếu $\dfrac{1}{2} \le c \le 1$ thì \(\Delta_x= \left( 64\,{c}^{4}-992\,{c}^{3}-1740\,{c}^{2}-788\,c-23 \right) \left( 2\,c-1 \right) ^{2}\le 0\)

ta có điều phải chứng minh

:D

28 tháng 1 2021

Lâu rồi mới đăng bài vì mấy bài kia khó quá :vv

C39: 

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a>0\\y+z+4x=b>0\\z+x+16y=c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b-a}{3}\\y=\dfrac{c-a}{15}\\z=\dfrac{21a-5b-c}{15}\end{matrix}\right.\).

Khi đó áp dụng bđt AM - GM ta có:

\(P=\dfrac{5b+c-6a}{15a}+\dfrac{4a-b}{3b}+\dfrac{16a-c}{15c}=\left(\dfrac{b}{3a}+\dfrac{4a}{3b}\right)+\left(\dfrac{c}{15a}+\dfrac{16a}{15c}\right)-\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}\right)\ge\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{15}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{15}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=2a\\c=4a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z+4x=2\left(x+y+z\right)\\z+x+16y=4\left(x+y+z\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y+z\\4y=x+z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow21x=35z=15z\).

 

Bạn đã like Trang để nhận thông báo mới nhất về cuộc thi chưa?Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | FacebookCó câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu-------------------------------------------------------------------[Toán.C45 _ 3.2.2021]Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Bà Rịa - Vũng Tàu, 2019-2020: Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(x+y\le3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu...
Đọc tiếp

Bạn đã like Trang để nhận thông báo mới nhất về cuộc thi chưa?

Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook

Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:

[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu

-------------------------------------------------------------------

[Toán.C45 _ 3.2.2021]

Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Bà Rịa - Vũng Tàu, 2019-2020: Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(x+y\le3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{5}{x+2y+5}\).

[Toán.C46 _ 3.2.2021]

Trích câu 10, đề thi tuyển sinh THPT Bắc Ninh, 2019-2020: Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn \(a^2+b^2=2.\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\dfrac{a^3+b^3+4}{ab+1}\).

[Toán.C47 _ 3.2.2021]

Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Bình Định, 2019-2020: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\).

[Toán.C48 _ 3.2.2021]

Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Đắc Lắc, 2019-2020: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x + 2y + 3z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

\(S=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\dfrac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\dfrac{3xz}{3xz+4y}}\)

7
3 tháng 2 2021

C47: Dễ thấy x > 1.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(P=\dfrac{x^2+\dfrac{1}{x^2}}{x-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{x^4+1}{x^3-x}=\dfrac{\left(x^2-1\right)^2}{x^3-x}+\dfrac{2x^2}{x^3-x}=\dfrac{x^2-1}{x}+\dfrac{2x}{x^2-1}\ge2\sqrt{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2-1}{x}=\dfrac{2x}{x^2-1}\\xy=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\y=\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\end{matrix}\right.\).

Vậy Min P = \(2\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\y=\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\end{matrix}\right.\)

 

 

3 tháng 2 2021

C48: Đề bài là tìm GTLN chứ nhỉ?

Đặt x = a; 2y = b; 3z = c (a, b, c > 0). Khi đó a + b + c = 2.

Ta có \(S=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)

\(\le_{AM-GM}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{c+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{b+a}\right)=\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \(\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3};y=\dfrac{1}{3};z=\dfrac{2}{9}\).

Vậy Max S = \(\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3};y=\dfrac{1}{3};z=\dfrac{2}{9}\).

 

1 tháng 11 2021

khó thật đấy anh 

2 tháng 2 2021

em like rùi sj

Bạn đã like Trang để nhận thông báo mới nhất về cuộc thi chưa?Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | FacebookCó câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi (mình đang thiếu câu hỏi...):[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu-------------------------------------------------------------------[Toán.C42 _ 1.2.2021]Trích VEMC, 2018: Jack Sparrow và Barbossa tìm được chiếc rương chứa 105 đồng xu bằng vàng Aztec. Cả hai đều muốn chiếm các...
Đọc tiếp

Bạn đã like Trang để nhận thông báo mới nhất về cuộc thi chưa?

Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook

Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi (mình đang thiếu câu hỏi...):

[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu

-------------------------------------------------------------------

[Toán.C42 _ 1.2.2021]

Trích VEMC, 2018: Jack Sparrow và Barbossa tìm được chiếc rương chứa 105 đồng xu bằng vàng Aztec. Cả hai đều muốn chiếm các đồng tiền vàng cho riêng mình. Jack nghĩ ra một trò chơi với luật chơi như sau: Mỗi người lần lượt phải lấy từ 5 đến 9 đồng vàng. Người lấy được đồng tiền vàng cuối cùng sẽ là người chiến thắng và nhận tất cả số đồng xu trong rương. Nếu số đồng tiền vàng còn lại trong rương nhỏ hơn 5 (và lớn hơn 0) thì cả hai hòa nhau. Jack là người chơi trước. Hỏi Jack phải lấy bao nhiêu đồng vàng để chắc chắn mình là người thắng cuộc? Chứng minh.

1
5 tháng 2 2021

câu này pro vãi

2 tháng 2 2021

Nếu được dùng giai thừa thì...

\(\left(\left(\left(\left(2!\right)!\right)!\right)...\right)!\) = :))

2 tháng 2 2021

Phải chăng là số này: \(\left(2^{22!}\right)!\)

23 tháng 1 2021

Gõ lại lần cuối, không được nữa nghỉ chơi hoc24:v

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\geq abc(a^2+b^2+c^2)$$Ta có$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$= \displaystyle\LARGE{\sum} {{a^3}} \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) -\displaystyle \LARGE{\sum} {{a^2}} ({b^3} - {c^3})$Mặt khác ta có đẳng thức sau

$${a^2}\left( {{b^3} - {c^3}} \right) + {b^2}\left( {{c^3} - {a^3}} \right) + {c^2}\left( {{a^3} - {b^3}} \right) = {a^2}{\left( {b - c} \right)^2} + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2} + {c^2}{\left( {a - b} \right)^2}$$Từ đó dễ dàng thu được$$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$$$= {a^2}{\left( {b - c} \right)^2}\left( {a - b + c} \right) + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2}\left( {b - c + a} \right) + {c^2}{(a - b)^2}\left( {c - a + b} \right)$$$$= {S_a}{\left( {b - c} \right)^2} + {S_b}{\left( {c - a} \right)^2} + {S_c}{\left( {a - b} \right)^2}$$Với $${S_a} = {a^2}\left( {a - b + c} \right)$$$${S_b} = {b^2}\left( {b - c + a} \right)$$$${S_c} = {c^2}\left( {c - a + b} \right)$$Do $a,$$b,$$c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên rõ ràng $S_a,S_b,S_c$ không âm. Ta thu được điều hiển nhiên.

23 tháng 1 2021

Ủa sao lỗi hết, anh xóa luôn hai câu giúp em ạ.

27 tháng 1 2021

Xét hiệu hai vế bất đẳng thức đã cho ta được:

\(VT-VP={\dfrac { \left( a-b \right) ^{2}{c}^{2}}{ \left( b+c \right) \left( c +a \right) \left( a+b+c \right) }}+{\dfrac { \left( b-c \right) ^{2}{a }^{2}}{ \left( a+b \right) \left( c+a \right) \left( a+b+c \right) } }+{\dfrac { \left( ac-{b}^{2} \right) ^{2}}{ \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( a+b+c \right) }}\geqslant 0. \)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

27 tháng 1 2021

Cách khác. 

Quy đồng, ta cần chứng minh:

\(2\,{a}^{3}{c}^{2}+{a}^{2}{b}^{3}-3\,{a}^{2}{b}^{2}c-2\,{a}^{2}b{c}^{2} +2\,{a}^{2}{c}^{3}+a{b}^{4}-3\,a{b}^{2}{c}^{2}+{b}^{4}c+{b}^{3}{c}^{2}\geq 0\)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(3\,a{b}^{2}{c}^{2}\leq \dfrac{5}{4}{a}^{2}{c}^{3}+\dfrac{1}{2}\,a{b}^{4}+\dfrac{1}{4} \,{b}^{4}c+{b}^{3}{c}^{2},\\2\,{a}^{2}b{c}^{2}\leq {\dfrac {7\,{a}^{3}{c} ^{2}}{10}}+\dfrac{1}{5}{a}^{2}{b}^{3}+\dfrac{3}{4}{a}^{2}{c}^{3}+{\dfrac {7\,{b}^{4}c }{20}},\\3\,{a}^{2}{b}^{2}c\leq {\dfrac {13\,{a}^{3}{c}^{2}}{10}}+\dfrac{4}{5}{a }^{2}{b}^{3}+\dfrac{1}{2}a{b}^{4}+\dfrac{2}{5}{b}^{4}c \)

Xong :D

 

24 tháng 1 2021

[Toán.C35 _ 24.1.2021]

Điền hai số còn thiếu vào quy luật sau: 0 - 1 - 13 - 61 - ? - ?

\(\Rightarrow0-1-13-61-253-1017\)

[Toán.C36 _ 24.1.2021]

Điền số còn thiếu vào quy luật sau: 32 - 12 - 136 - 176 - ? - 196

\(\Rightarrow\text{32-12-136-176-186-196}\)

24 tháng 1 2021

[Toán.C36 _ 24.1.2021]

Điền số còn thiếu vào quy luật sau: 32 - 12 - 136 - 176 - ? - 196

Câu này sai nhé !

Phài là : Điền số còn thiếu vào quy luật sau: 12 - 32 - 136 - 176 - ? - 196

Like và follow để ủng hộ và giúp đỡ chúng mình phát triển cuộc thi nha :>Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | FacebookCó câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu-------------------------------------------------------------------[Toán.C31 _ 24.1.2021]a) Cho 3a + 4b = 5. Chứng minh rằng: \(a^2+b^2\ge1\).b) Cho \(2a^2+3b^2=5.\) Chứng minh rằng: \(2a+3b\le5\).[Toán.C32 _ 24.1.2021]Với \(0 a\le b\le...
Đọc tiếp

Like và follow để ủng hộ và giúp đỡ chúng mình phát triển cuộc thi nha :>

Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook

Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:

[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu

-------------------------------------------------------------------

[Toán.C31 _ 24.1.2021]

a) Cho 3a + 4b = 5. Chứng minh rằng: \(a^2+b^2\ge1\).

b) Cho \(2a^2+3b^2=5.\) Chứng minh rằng: \(2a+3b\le5\).

[Toán.C32 _ 24.1.2021]

Với \(0< a\le b\le c\)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}\ge3;\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}\ge2;\dfrac{1}{3c}\ge1.\)

Chứng minh rằng: \(a^2+b^2+c^2\le\dfrac{49}{36}\).

[Toán.C33 _ 24.1.2021]

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)\le2.\)

[Toán.C34 _ 23.1.2021]

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}.\)

5
24 tháng 1 2021

Xí câu dễ trước

Câu 31.

a) Thay $b=\dfrac{5-3a}{4}$ vào và rút gọn thì cần chứng minh $(5a-3)^2\geqslant 0.$

b) Ta có: \(5^2=\left(2+3\right)\left(2a^2+3b^2\right)\ge\left(2a+3b\right)^2\Rightarrow2a+3b\le5\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1.\)

24 tháng 1 2021

Bài 33.

Chuyển về pqr, cần chứng minh:

\({\dfrac { \left( {p}^{2}-3\,q \right) \left( {p}^{3}q-{p}^{2}r-2\,p{q} ^{2}+6\,qr \right) }{2qr \left( {p}^{2}-2\,q \right) }}\geqslant 0 \)

Đây là điều hiển nhiên nếu khai triển biểu thức \({p}^{3}q-{p}^{2}r-2\,p{q}^{2}+6\,qr\) ta sẽ được một đa thức với tất cả hệ số đều dương.