Giá trị của biểu thức: A=\(\dfrac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{b^2}{\left(b-a\right)\left(c-b\right)}-\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 3 2022
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc\left(a^2+1\right)^2\left(b^2+1\right)^2\left(c^2+1\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{abc}}\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3}}=9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(a+b+c\right)^3}}\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{2\left(a+b+c\right)^2}}\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số \(a^2;b^2;c^2\) luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với \(\dfrac{4}{9}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là \(a^2;b^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+\dfrac{16}{81}\ge\dfrac{4}{9}a^2+\dfrac{4}{9}b^2\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\dfrac{13}{9}a^2+\dfrac{13}{9}b^2+\dfrac{65}{81}\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\left(c^2+1\right)\)
\(=\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}\right)\left(\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+c^2+\dfrac{1}{9}\right)\)
\(\ge\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{2}{3}b+\dfrac{2}{3}c+\dfrac{1}{9}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{9}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)^2}}=9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9\left(a+b+c\right)}\right)^2}\)
\(P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9.2}\right)^2}=\dfrac{13}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{13}{2}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
TL
17 tháng 3 2022
Thầy cho em hỏi cơ sở để ta nghĩ ra dòng
\(\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\) này là gì ạ?
Theo cá nhân em thấy cách giải này hay và dễ hiểu, và có lẽ cũng dựa vào điểm rơi nhưng hình như lời giải chưa tự nhiên lắm thì phải ạ. Thầy có cách nào nữa không thầy? Em cảm ơn ạ.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(Q=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{2}{3}\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b+c}\)
\(Q\ge\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{3}\)
7 tháng 12 2021
Áp dụng t/c dtsbn ta có:
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\dfrac{2b+2c+2a}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=2\Rightarrow2b+c-a=2a\Rightarrow2b=3a-c\)\(\dfrac{2c-b+a}{b}=2\Rightarrow2c-b+a=2b\Rightarrow2c=3b-a\)
\(\dfrac{2a+b-c}{c}=2\Rightarrow2a+b-c=2c\Rightarrow2a=3c-b\)
\(P=\dfrac{\left(2a-b\right)\left(2b-c\right)\left(2c-a\right)}{2a.2b.2c}=\dfrac{\left(2a-b\right)\left(2b-c\right)\left(2c-a\right)}{8abc}\)
TA
31 tháng 12 2017
\(M=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}.\dfrac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}.\dfrac{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\) (loạn mắt quá !!! 
)
\(M=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c-a\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
Thôi để bữa sau a làm (đau mắt quá :)))
6 tháng 1 2019
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{abc}{a^2}+\dfrac{abc}{b^2}+\dfrac{abc}{c^2}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Thay vào A r tính thôi
19 tháng 12 2020
Bài này mình làm một lần ở trường rồi nhưng không có điện thoại chụp được:((
Ta có: \(\dfrac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3\left(a-c\right)-c^3\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3a-b^3c-c^3a+c^3b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c^3-b^3\right)+bc\left(c^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c-b\right)\left(a^2+bc+b^2\right)+bc\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a^3-ac^2-abc-ab^2+bc^2+b^2c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a^2-b^2\right)-c^2\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab-c-bc\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)
\(\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[a^2-c^2+ab-bc\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}\)\(=a+b+c\)
Vì a, b, c là các số nguyên
=> a+b+c là các số nguyên
=> Đpcm.
Đấy mình làm chi tiết tiền tiệt lắm luôn, không hiểu thì mình chịu rồi, trời lạnh mà đánh máy nhiều thế này buốt tay lắm luôn:vv
Ta có: \(A=\dfrac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{b^2}{\left(b-a\right)\left(c-b\right)}-\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{a^2\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-\dfrac{b^2\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{a^2b-a^2c-ab^2+b^2c+ac^2-bc^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)-c\left(a^2-b^2\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(ab+c^2\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(ab+c^2-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{c^2+ab-c}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)