Cho tam giác ABC có AB=5, BC=7,AC=8
a) Từ đẳng thức \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\) ,Chứng minh công thức \(2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\) AB2+AC2-BC2
Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) , rồi suay ra giá trị của góc A
b)...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có AB=5, BC=7,AC=8
a) Từ đẳng thức \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\) ,Chứng minh công thức \(2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\) AB2+AC2-BC2
Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) , rồi suay ra giá trị của góc A
b) Tính \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\)
a, \(\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2=\overrightarrow{BC}^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2+AB^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=BC^2\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-BC^2\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2}=20\)
b, \(2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA^2+CB^2-BC^2=CA^2\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\dfrac{CA^2}{2}=\dfrac{8^2}{2}=32\)
Lời giải:
a)
\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2=\overrightarrow{BC}^2\Leftrightarrow AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=BC^2\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-BC^2\) (đpcm)
Ta có:
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}=\frac{5^2+8^2-7^2}{2}=20\)
\(\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}=\frac{20}{5.8}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \angle A=60^0\)
b)
Tương tự phần a, \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2}=\frac{8^2+7^2-5^2}{2}=44\)