Cho hình lập phương
A
B
C
D
.
A
'
B
'
C
'
D
'
cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD¢, điểm N thuộc đoạn BD sao cho
A
M
=
D
N
=
x
với
0
<
x
<
a
2
2
.
Tìm x theo a để đoạn MN ngắn nhất A.
x
=
a
2
3
B.
x
=
a
2
4
C.
x
=
a
2
...
Đọc tiếp
Cho hình lập phương A B C D . A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD¢, điểm N thuộc đoạn BD sao cho A M = D N = x với 0 < x < a 2 2 . Tìm x theo a để đoạn MN ngắn nhất
A. x = a 2 3
B. x = a 2 4
C. x = a 2
D. 0
Đáp án A
Kẻ:
M H ⊥ A D ⇒ M H = A H = x 2 2 ⇒ H D = a − x 2 2
Tam giác HND có
H N 2 = D N 2 − 2 D N . H D . c o s 2 N D H ^
= a − x 2 2 2 + x 2 − 2 x a − x 2 2 = 5 2 x 2 − 2 2 a x + a 2
Vì:
M H ⊥ A D ⇒ M H / / A A ' ⇒ M H ⊥ A B C D ⇒ M H ⊥ H N
Tam giác MHN vuông tại H, có M N 2 = M H 2 + H N 2
= x 2 2 2 + 5 2 x 2 − 2 2 a x + a 2 = 3 x 2 − 2 2 a x + a 2 = 1 3 x − a 2 3 2 + a 2 3 ≥ a 2 3 ⇒ M N ≥ a 3 3 ⇒ M N min = a 3 3
Dấu “=” xảy ra khi x = a 2 3