Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án D
Phương pháp:
- Xác định các đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng AB và B 'C, BC và AB '.
- Dựa vào giải thiết khoảng cách nhận xét tính chất của hai đáy ABCD và A 'B 'C 'D '.
- Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của AC và BD '.
- Tính độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật và suy ra thể tích
Đáp án D
Kẻ CM vuông góc với B’D’; MJ vuông góc với BD; JK vuông góc với CM. Chứng minh khoảng cách giữa BD và CD’ bằng độ dài đoạn JK.
Thật vậy, ta có
Chọn C
Kẻ CM vuông góc với B’D’; MJ vuông góc với BD; JK vuông góc với CM. Chứng minh khoảng cách giữa BD và CD’ bằng độ dài đoạn JK.
Đáp án C.
Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật là A B = x , A D = y , A A ' = z . Trong đó x , y , z > 0 . Để giải bài toán, ta phân tích từng dữ kiện có trong đề bài.
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng 2 a 5 5 .
Ta có
A B / / C D C D ⊂ A ' B ' C D A B ⊄ A ' B ' C D ⇒ A B / / A ' B ' C D ⇒ d A B ; B ' C = d A B ; A ' B ' C D
= d A ; A ' B ' C D = A H = 2 a 5 5 với H là hình chiếu của A trên .
Từ 1 A H 2 = 1 A A ' 2 + 1 A D 2 ⇒ 1 y 2 + 1 z 2 = 5 4 a 2 (1)
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng 2 a 5 5 .
Tương tự, ta chứng minh được
B C / / A B ' C ' D ⇒ d B C ; A B ' = d B C ; A B ' C ' D
= B K = 2 a 5 5
với K là hình chiếu của B trên AB'.
Từ 1 B K 2 = 1 B A 2 + 1 B B ' 2 ⇒ 1 x 2 + 1 z 2 = 5 4 a 2 (2)
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là a 3 3 .
Gọi O = A C ∩ B D ⇒ O là trung điểm của BD. Gọi I là trung điểm của DD' thì OI là đường trung bình của Δ B D D ' ⇒ O I / / B D ' ⇒ B D ' / / A C I
⇒ d B D ' ; A C = d B D ' ; A C I = d D ' ; A C I = d D ; A C I
Ta thấy DI, DA, DC đôi một vuông góc với nhau nên:
1 d 2 D ; A C I = 1 D A 2 + 1 D C 2 + 1 D I 2 = 1 D A 2 + 1 D C 2 + 4 D D ' ⇒ 1 x 2 + 1 y 2 + 4 z 2 = 3 a 2
(3)
Giải hệ phương trình gồm (1), (2) và (3) ta tìm được: x = y = z , z = 2 a .
Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là V = x y z = a . a .2 a = 2 a 3 (đvtt).
a) Trong (ABCD) kẻ \(CE \bot BD\)
Mà \(CE \bot BB'\left( {BB' \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow CE \bot \left( {BB'D'D} \right)\)
Ta có CC’ // BB’ \( \Rightarrow \) CC’ // (BB’D’D) \( \Rightarrow \) d(CC’, (BB’D’D)) = d(C, (BB’D’D)) = CE
Xét tam giác BCD vuông tại C có
\(\frac{1}{{C{E^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{C{D^2}}} = \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{c^2}{b^2}}} \Rightarrow CE = \frac{{bc}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)
b) \(AC \subset \left( {ABCD} \right),B'D' \subset \left( {A'B'C'D'} \right),\left( {ABCD} \right)//\left( {A'B'C'D'} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {AC,B'D'} \right) = d\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = BB' = a\)
Thể tích khối chóp D’.DMN bằng thể tích khối chóp D.D’MN
Ta có: S D ' MN = S A ' B ' C ' D ' - S D ' A ' M + S D ' C ' N + S B ' MN
Thể tích khối chóp
Từ đó suy ra tỷ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ bằng 1/8
Đáp án D
Gọi E là giao điểm của NP và CD. Gọi G là giao điểm của NP và CC’. Gọi K là giao điểm của MG và B’C’. Gọi Q là giao điểm của ME và AD. Khi đó mặt phẳng (MNP) chính là mặt phẳng (MEG). Gọi d 1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ C, A đến mặt phẳng (MEG). Do AC cắt (MEG) tại điểm H (như hình vẽ) nên d 1 d 2 = H C H A . Do tứ diện CMEG là tứ diện vuông tại C nên
1 d 1 2 = 1 C M 2 + 1 C E 2 + 1 C G 2
Ta có G C ' G C = C ' N C E = 1 3
Suy ra G C = 3 2 C C ' = 9 a 2
Như vậy: 1 d 1 2 = 1 a 2 + 4 9 a 2 + 4 81 a 2
Từ đó d 1 2 = 81 a 2 12 ⇒ d 1 = 9 11 . Ta có Q D M C = E D E C = 1 3 ⇒ Q D = a 3
Ta có Δ H C M đồng dạng với Δ H A Q nên:
H C H A = M C A Q = a 2 a − a 3 = 3 5 ⇒ d 1 d 2 = 3 5 ⇒ d 2 = 5 3 d 1 = 5.9 a 3.11 = 15 a 11
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên B 'C và B 'A
Dễ thấy A B ⊥ ( B C C ' B ' ) nên A B ⊥ B E
Lại có B E ⊥ B ' C nên d A B , B ' C = B E = 2 a 5 5
Tương tự có d B C , A B ' = B F = 2 a 5 5
Xét các tam giác vuông BCB’ và BAB’ có: 1 B E 2 = 1 B F 2
⇔ B C = B A hay ABCD là hình vuông
Suy ra B D ⊥ A C . Lại có A C ⊥ D D ' nên A C ⊥ ( B D D ' )
Gọi M = A C ∩ B D , O là tâm hình hộp và H là hình chiếu của M lên BD '
Khi đó A C ⊥ M H và M H ⊥ B D ' nên d A C , B D ' = M H = a 3 3
Đặt BA=BC=x, BB'=y ta có:
Tam giác BB 'C vuông nên
Tam giác BMO vuông nên
Mà M B = 1 2 B D = x 2 2 , M O = 1 2 D D ' = y 2
nên
Từ (1) và (2) ta có:
Vậy thể tích khối hộp
V = B A . B C . B B ' = a . a . 2 a = 2 a 3
Chọn đáp án D.