Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {1;0} \right)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(x = 0\).
(C): x^2-2x+1+y^2+4y+4=9
=>(x-1)^2+(y+2)^2=9
=>I(1;-2); R=3
Khi x=1 và y=5 thì (1-1)^2+(5+2)^2=49<>9
=>A nằm ngoài (C)
Gọi (d): y=ax+b là phương trình tiếp tuyến tại A của (C)
Thay x=1 và y=5 vào (d), ta được:
a+b=5
=>b=5-a
=>y=ax+5-a
=>ax-y-a+5=0
Theo đề, ta có: d(I;(d))=3
=>\(\dfrac{\left|1\cdot a+\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)-a+5\right|}{\sqrt{a^2+1}}=3\)
=>9a^2+9=(a+2-a+5)^2
=>9a^2+9=49
=>9a^2=40
=>a^2=40/9
=>\(a=\pm\dfrac{2\sqrt{10}}{3}\)
=>\(b=5\mp\dfrac{2\sqrt{10}}{3}\)
a) Thay điểm \(M(4;6)\)vào phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\)
ta có:
\({4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0\)
Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)
b) Đường tròn có tâm \(I(1;2)\)
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(M(4;6)\) là:
\(\begin{array}{l}\left( {1 - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {2 - 6} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y -36 = 0\end{array}\)
c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) nên phương trình có dạng \(d:4x + 3y + c = 0\)
Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: \(I(1;2),r = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20} = 5\)
Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c = - 35\end{array} \right.\)
Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) là \({d_1}:4x + 3y + 15 = 0,{d_2}:4x + 3y - 35 = 0\)
a) Để tìm phương trình đường tròn © có tâm I(2,3) đi qua điểm A(5,7), ta sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến tâm đường tròn:
$I\hat{A} = \sqrt{(x_A - x_I)^2 + (y_A - y_I)^2}$
Với I là tâm đường tròn, A là điểm trên đường tròn.
Ta có: $x_I = 2$, $y_I = 3$, $x_A = 5$, $y_A = 7$
Thay vào công thức ta được:
$\sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{34}$
Vậy bán kính của đường tròn là $\sqrt{34}$.
Phương trình đường tròn © có tâm I(2,3) và bán kính $\sqrt{34}$ là:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 34$
b) Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn © : $(x-1)^2 + ( y+5)^2 =4$, ta cần tìm đạo hàm của phương trình đường tròn tại điểm cần tìm tiếp tuyến.
Ta có phương trình đường tròn chính giữa:
$(x-1)^2 + (y+5)^2 = 2^2$
Đạo hàm hai vế theo x:
$2(x-1) + 2(y+5)y' = 0$
Suy ra:
$y' = -\frac{x-1}{y+5}$
Tại điểm M(x,y) trên đường tròn, ta có:
$(x-1)^2 + (y+5)^2 = 2^2$
Đạo hàm hai vế theo x:
$2(x-1) + 2(y+5)y' = 0$
Suy ra:
$y' = -\frac{x-1}{y+5}$
Vậy tại điểm M(x,y), phương trình tiếp tuyến của đường tròn là:
$y - y_M = y'(x-x_M)$
Thay $y'$ bằng $\frac{-(x-1)}{y+5}$ và $x_M$, $y_M$ bằng 1, -5 ta được:
$y + 5 = \frac{-(x-1)}{y+5}(x-1)$
Simplifying:
$x(y+5) + y(x-1) = 6$
Đường thẳng (d) có phương trình là $3x + 4y - 1 = 0$. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên hệ số góc của tiếp tuyến
x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 và điểm M(-2; 4)
Đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 x - 2 y - 4 = 0 có tâm I(-2;1) và bán kính R = ( − 2 ) 2 + 1 2 + 4 = 3
Phương trình tiếp tuyến tại M(- 2; 4) và nhận I M → ( 0 ; 3 ) làm VTPT là:
0( x +2) + 3 (y – 4) = 0 hay y = 4
ĐÁP ÁN D
Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-1\right)\) bán kính \(R=1\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(2;5\right)\Rightarrow IM=\sqrt{29}\)
Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow IM\perp AB\) tại H \(\Rightarrow IH=d\left(I;AB\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AIM:
\(IA^2=IH.IM\Rightarrow IH=\dfrac{R^2}{IM}=\dfrac{1}{\sqrt{29}}\)
Đường thẳng AB vuông góc IM nên nhận (2;5) là 1 vtpt
Phương trình AB có dạng: \(2x+5y+c=0\)
Do \(d\left(I;AB\right)=IH=\dfrac{1}{\sqrt{29}}\) \(\Rightarrow\dfrac{\left|2.1-5.1+c\right|}{\sqrt{2^2+5^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{29}}\)
\(\Rightarrow\left|c-3\right|=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=4\\c=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+5y+2=0\\2x+5y+4=0\end{matrix}\right.\)
Mặt khác I và M nằm ở hai phía so với đường thẳng AB \(\Rightarrow\) đường thẳng có pt \(2x+5y+4=0\) không thỏa mãn do \(\left(2.3+5.4+4\right).\left(2.1-5.1+4\right)>0\)
Vậy pt đường thẳng AB là: \(2x+5y+2=0\)
(C): (x-1)^2+(y+2)^2=4
=>R=2; I(1;-2)
Vì (d)//Δ nên (d): 4x-3y+c=0
\(d\left(I;\left(d\right)\right)=2\)
=>\(\dfrac{\left|1\cdot4+\left(-2\right)\cdot\left(-3\right)+c\right|}{\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}}=2\)
=>|c+4+6|=10
=>|c+10|=10
=>c=0 hoặc c=-20
=>4x-3y=0 hoặc 4x-3y-20=0
ĐÁP ÁN B
Đường tròn (C): x 2 + y 2 - 4 x + 2 y – 4 = 0 có tâm I(2; -1) và bán kính R = 2 2 + ( − 1 ) 2 + 4 = 3
Tiếp tuyến qua M( -4; 2) và nhận n → ( a ; b ) làm VTPT có phương trình :
a( x+ 4) + b (y – 2)= 0 hay ax + by + 4a – 2b = 0 (*)
Khoảng cách từ tâm I đến tiếp tuyến bằng bán kính nên ta có:
d ( I ; d ) = R ⇔ 2 a − b + 4 a − 2 b a 2 + b 2 = 3 ⇔ 6 a − 3 b a 2 + b 2 = 3 ⇔ 2 a − b a 2 + b 2 = 1 ⇔ 2 a − b = a 2 + b 2 ⇔ 4 a 2 − 4 a b + b 2 = a 2 + b 2 ⇔ 3 a 2 − 4 a b = 0 ⇔ a ( 3 a − 4 b ) = 0 ⇔ a = 0 3 a = 4 b
* Nếu a= 0 , chọn b= 1 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là: y – 2= 0
* Nếu 3a = 4b, chọn a = 4 thì b = 3 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là:
4x + 3y + 10 = 0
Vậy có 2 tiếp tuyến qua M là: y – 2= 0 và 4x +3y + 10= 0