Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án C
Phương pháp:
- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất của biểu thức.
Cách giải:
<=> 
(2)
Đặt 
=> f(t) đồng biến trên (0;+∞)
<=> 
<=> 
Khi đó, 
vì 
Vậy Pmax = 1 khi và chỉ khi 
Ta có:
x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = 2xy(x+y)
Đặt S = x + y, P = xy, ta có:
x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = (x+y)(x^2 + y^2) = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = S^3 - 3PS
Vậy ta có:
S^3 - 3PS + S^2 - 2P = 0
S^3 + S^2 - 3PS - 2P = S(S^2 + S - 3P) - 2P = 0
Do đó, ta có:
S^2 + S - 3P = 0
Sử dụng công thức Viết để tính nghiệm của phương trình bậc hai này, ta được:
S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2 hoặc S = (-1 - sqrt(1 + 12P))/2
Vì x và y là các số thực dương, nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm dương của S, tức là:
S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2
Tiếp theo, ta có:
K = x^3 + y^3 + 3/(x^2 + y^2) + 2/((x+y)^2)
= S^3 - 3PS + 3/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)
= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)
= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2S^2/(S^2 * (S^2 - 2P))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 - 2P))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 + 1 - 2xy))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)P)
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)(S^3 - 3PS))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(-2S^5 + 10S^3 - 2PS^2 + 2P)
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(2S^5 - 10S^3 + 2PS^2 - 2P)
= S^3 - 3PS + (5S^2 - 6P)/(2S^3 - 10S +
Ta có:
Đặt \(A=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)
\(\Leftrightarrow A=x+y+\dfrac{4}{4x}+\dfrac{4}{4y}\)
\(\Leftrightarrow A=x+y+\dfrac{1}{4x}+\dfrac{3}{4x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{3}{4y}\)
\(\Leftrightarrow A=\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{4y}\right)+\left(\dfrac{3}{4x}+\dfrac{3}{4y}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{4y}}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{x+y}\)
\(\ge2.\sqrt{\dfrac{1}{4}}+2\sqrt{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{1}\)
\(=2.\dfrac{1}{2}+2.\dfrac{1}{2}+3=1+1+3=5\)
Vậy ta có đpcm. Dấu"=" xảy ra\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4x}\\y=\dfrac{1}{4y}\\x=y\\x+y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\)
Đáp án C
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất của biểu thức.
Lời giải:
log 3 x + y x 2 + y 2 + x y + 2 = x ( x - 3 ) + y ( y - 3 ) + x y (1)
Đặt
=> f(t) đồng biến trên (0;+∞)
Khi đó,
vì
Vậy Pmax = 1 khi và chỉ khi