K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
21 tháng 10 2019

\(P=\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ab}+\frac{c^2}{2ac+3bc}\)

\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

5 tháng 7 2021

Ta có:

A = \(\frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{3b+2a}=\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ab}+\frac{c^2}{3bc+2ac}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+3ac+2bc+3ab+3bc+2ac}\)(bđt svacxo \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\))

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{5\left(a+b+c\right)^2}{3}}\) (bđt \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(*)

CM bđt * <=> \(3xy+3yz+3xz\le x^2+y^2+z^2+2xz+2xy+2yz\)

<=> \(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

<=> A \(\ge\frac{3}{5}\) --> ĐPCM

19 tháng 2 2020

Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

1. \(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+2b\right)+\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}\Leftrightarrow a=b=c\)

2. \(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(2a+3b\right)+\left(2b+3c\right)+\left(2c+3a\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 1 2020

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}+\frac{ac}{\sqrt{5abc(3b+2c)}}+\frac{ab}{\sqrt{5abc(3c+2a)}}\geq \frac{3}{5}(*)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(5abc(3a+2b)=5ab.(3ac+2bc)\leq \left(\frac{5ab+3ac+2bc}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \frac{2bc}{5ab+3ac+2bc}=\frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế ta suy ra:

\(\sum \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz và AM-GM:

\(\sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\geq 2.\frac{(bc+ab+ac)^2}{2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)]}=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)}\)

\(=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+2abc(a+b+c)}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+\frac{2}{3}(ab+bc+ac)^2}=\frac{3}{5}(2)\)

Từ $(1);(2)$ suy ra $(*)$ đúng. BĐT được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

13 tháng 6 2017

Ta có:

\(\frac{\sqrt{5abc}}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{\sqrt{5abc}}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{\sqrt{5abc}}{c\sqrt{3c+2a}}\)

\(=\frac{5bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{5ac}{\sqrt{5bc\left(3ba+2ca\right)}}+\frac{5ab}{\sqrt{5ca\left(3cb+2ab\right)}}\)

\(\ge\frac{10bc}{5ab+3ac+2bc}+\frac{10ac}{5bc+3ba+2ca}+\frac{10ab}{5ca+3cb+2ab}\)

Đặt \(ab=x,bc=y,ca=z\)(cho dễ nhìn)

\(=\frac{10x}{2x+3y+5z}+\frac{10y}{2y+3z+5x}+\frac{10z}{2z+3x+5y}\)

\(=\frac{10x^2}{2x^2+3yx+5zx}+\frac{10y^2}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{10z^2}{2z^2+3xz+5yz}\)

\(\ge\frac{10\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\)

Giờ ta cần chứng minh

\(\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(đúng)

Vậy ta có ĐPCM

13 tháng 6 2017

alibaba nguyễn bạn trả lời đúng đấy! Nhưng để dễ hiểu hơn ta nên áp dụng tổ hợp BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz nhé!

NV
17 tháng 5 2020
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{5abc}}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{\sqrt{5abc}}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{\sqrt{5abc}}{c\sqrt{3c+2a}}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{5a\left(3a+2b\right)}}+\frac{\sqrt{ac}}{\sqrt{5b\left(3b+2c\right)}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{5c\left(3c+2a\right)}}\ge\frac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\frac{bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{5bc\left(3ab+2ac\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{5ac\left(3bc+2ab\right)}}\ge\frac{3}{5}\)

Thật vậy, theo AM-GM ta có:

\(VT\ge\frac{2bc}{5ab+2bc+3ac}+\frac{2ac}{3ab+5bc+2ac}+\frac{2ab}{2ab+3bc+5ac}\)

Đặt \(\left(ab;bc;ca\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{2x}{2x+3y+5z}+\frac{2y}{5x+2y+3z}+\frac{2z}{3x+5y+2z}=\frac{2x^2}{2x^2+3xy+5zx}+\frac{2y^2}{5xy+2y^2+3yz}+\frac{2z^2}{3zx+5yz+2z^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{5}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)