Cho (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi CA.CB=2DA.DB
Mong các bạn giúp đỡ mình
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 11 2021
Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của AC, BC với (I).
Đặt \(AD=AE=a;BD=BF=b;CE=CF=c\)
Vì \(CA.CB=2DA.DB\left(gt\right)\)\(\Rightarrow\left(c+a\right)\left(c+b\right)=2ab\Rightarrow c^2+bc+ac+ab=2ab\Rightarrow c^2+bc+ac=ab\)
\(\Rightarrow2c^2+2bc+2ac=2ab\Rightarrow c^2+2bc+b^2+c^2+2ac+a^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow\left(c+b\right)^2+\left(c+a\right)^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow BC^2+AC^2=AB^2\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại C theo định lí Pytago đảo.
Vậy ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2022
Pitago: \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)=0\)
Gọi các tiếp điểm với AB và AC là E và F
Do đường tròn (I) nội tiếp tam giác, theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau:
\(BD=BE\) ; \(AE=AF\) ; \(CD=CF\)
Mà \(BD+CD=BC;AE+BE=AB;AF+CF=AC\)
\(\Rightarrow BC+AB-AC=BD+CD+AB+BE-AF-CF=BD+BE=2BD\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{BC+AB-AC}{2}\)
Tương tự: \(BC+AC-AB=2DC\Rightarrow DC=\dfrac{BC+AC-AB}{2}\)
\(\Rightarrow BD.DC=\dfrac{1}{4}\left(BC+AB-AC\right)\left(BC+AC-AB\right)=\dfrac{1}{4}\left[BC^2-\left(AB-AC\right)^2\right]\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)+2AB.AC\right)=\dfrac{1}{2}AB.AC=S_{ABC}\)
CM
26 tháng 8 2017
Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với AD và AC
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AE = AF
BE = BD
CD = CF
BD = BC + CD
BE = AB – AE
Suy ra: BD + BE = AB + BC – (AE + CD)
= AB + BC – (AE + CE)
= AB + BC – AC
Suy ra: BD = (AB + BC - AC)/2
Lại có: CD = BC – BD
CF = AC = AF
Suy ra: CD + CF = BC + AC – (BD + AF)
= BC + AC – (BE + AE)
= BC + AC – BA
Vậy S A B C = BD.DC.
Q
13 tháng 11 2016
Gọi E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn đã cho với các cạnh AB, AC. Đặt AE = AF = x. Ta có BD = BE, CF = CD. Từ đó ta có:
AB.AC = ( x + BD )( x + CD ) = x2 + ( BD + DC )x + BD.CD (1)
Do ABC là tam giác vuông nên theo định lý Pytago, ta có:
AB2 + AC2 = BC2 trở thành ( x + BD )2 + ( x + CD )2 = ( DB + DC )2 <=> ( x2 + ( BD + DC )x) = BD.DC <=> ( x + BD )( x + CD ) = 2BD.CD (2).
Từ (1), (2) suy ra đpcm.
HD
25 tháng 1 2017
cho 1 hinh duoc tao bang nua hinh tron co duong tron 2 dm va 1 hinh tam giac co duong cao 3dm,day2dm
lam on hay giup minh nhe! co giao minh sap kiem tra rui. cam on
23 tháng 1 2020
1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~
Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))
\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)
Ta lại có: \(BD\perp HK\)
\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)
\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)
\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)
Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))
Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)
\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)
(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )
DX
21 tháng 2 2016
\(\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{ID}\left(\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{IA}\right)=\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}\)
\(=IA'^2-\left(\overrightarrow{IC'}+\overrightarrow{C'D}\right)\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{IC'}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{C'D}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-IC'^2-0\) (vì AI vuông góc với C'B')
\(=r^2-r^2=0\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
ĐFCM