Question

[Niii]

Câu 1 : a, Cho A = \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\) B = \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}}\) so sánh A và B

b, cho x,y ∈ Q sao , thỏa mãn x³ + y³=2x²y² .CMR : B = \(\sqrt{1-\frac{1}{xy}}\) là số hữu tỉ .

Câu 2 : a, tìm nghiệm nguyên dương của pt x⁴+x²+1=y²

b, giải pt \(\left(x+2\right)\left(x+4\right)=2\sqrt{2x+5}-2\)

Câu 3 : cho các số không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN và GTNN của bth P= \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(A=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\left(\sqrt{100}+\sqrt{99}\right)}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=\sqrt{100}-1=9\)

\(B=\frac{2}{2}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{35}}\)

\(B>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\)

\(B>2\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+...+\frac{\sqrt{36}-\sqrt{35}}{\left(\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\left(\sqrt{36}+\sqrt{35}\right)}\right)\)

\(B>2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)

\(B>2\left(\sqrt{36}-1\right)=10>9=A\)

\(\Rightarrow B>A\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Để biểu thức B có nghĩa thì \(xy\ne0\)

Khi đó ta có:

\(x^3+y^3=2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)^2=4x^4y^4\)

\(\Leftrightarrow x^6+y^6+2x^3y^3=4x^4y^4\)

\(\Leftrightarrow x^6+y^6-2x^3y^3=4x^4y^4-4x^3y^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4\left(1-\frac{1}{xy}\right)\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{xy}=\left(\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\left|\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right|\) là một số hữu tỉ