Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=5+2\sqrt{-x^2+4x-3}-4\sqrt{x-1}-4\sqrt{3-x}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 11 2023
Mấy cái bước suy ra ≥;≤ là có công thức hay là định lý gì không ạ ?
KN
31 tháng 1 2020
Ta có: \(\sqrt{x^2+y^2+4x-2y+5}+\sqrt{x^2+y^2-8x-14y+65}=6\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{\left(4-x\right)^2+\left(7-y\right)^2}=6\sqrt{2}\left(^∗\right)\)
Xét hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(x+2;y-1\right)\)và \(\overrightarrow{v}=\left(4-x;7-y\right)\)
Ta có: \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(6;6\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\)
Do vậy \(\left(^∗\right)\)trở thành\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|\)
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}\)và \(\overrightarrow{v}\)cùng hướng
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)\left(7-y\right)=\left(y-1\right)\left(4-x\right)\\\left(x+2\right)\left(4-x\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x+3\\-2\le x\le4\end{cases}}\)
Khi y = x + 3 thì \(x^2+y^2-2x+2y+2=2x^2+6x+17\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=2x^2+6x+17\)trên đoạn \(\left[-2;4\right]\)
Ta có: \(-\frac{6}{2.2}=\frac{-3}{2}\in\left[-2;4\right]\)và \(f\left(-2\right)=13;f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{2};f\left(4\right)=73\)
Suy ra \(|^{min}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=\frac{25}{2}\);\(|^{max}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=73\)
Do đó \(m=\frac{25}{2};M=73\)và \(n+M=\frac{171}{2}\)
Vậy \(n+M=\frac{171}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2023
Lời giải:
$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}=\frac{\sqrt{x}+4-3}{\sqrt{x}+4}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+4}$
Vì $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}+4\geq 4$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+4}\leq \frac{3}{4}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+4}\geq 1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
Vậy $M=\frac{1}{4}$
------------------
$N=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{3}{\sqrt{x}+2}$
Do $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}+2\geq 2$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}\leq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$
Vậy $N=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2M+N =2.\frac{1}{4}+\frac{5}{2}=3$
Đáp án C.
Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=t\Rightarrow\sqrt{2}\le t\le2\)
\(t^2=2+2\sqrt{-x^2+4x-3}\)
Ta được:
\(y=t^2-4t+3\) với \(t\in\left[\sqrt{2};2\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=2\in\left[\sqrt{2};2\right]\)
\(f\left(\sqrt{2}\right)=5-4\sqrt{2}\) ; \(f\left(2\right)=-1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=5-4\sqrt{2}\\m=-1\end{matrix}\right.\)