Cho tam giác cân ABC (AB=AC, góc A < 90 độ), đường cao BD. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của đoạn BC, BM và BD. Tia NI cắt cạnh AC tại K. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp
b) BC^2 =4/3 AC x CK
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
29 tháng 12 2017
+) Do tam giác ABC cân tại A, có AM là trung tuyến nên đồng thời là đường cao, hay \(\widehat{AMB}=90^o\)
Hai tam giác vuông ADB và AMB có chung cạnh huyền AB nên tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính AB.
+) Xét tam giác BMD có N và I lần lượt là trung điểm của BM và BD nên NI là đường trung bình của tam giác. Vậy nên NI // MD. Suy ra \(\widehat{KNC}=\widehat{DMC}\) (Hai góc đồng vị)
Mà do tứ giác ABMD nội tiếp nên \(\widehat{DAB}=\widehat{DMC}\) nên \(\widehat{KNC}=\widehat{DAB}\)
Vậy thì tứ giác ABNK nội tiếp.
+) Xét tam giác CKN có MD // NK nên áp dụng định lý Ta let ta có:
\(\frac{DC}{CK}=\frac{MC}{CN}=\frac{2}{3}\)
Xét tam giác MDC và ABC có: góc C chung, \(\widehat{CAB}=\widehat{CMD}\) nên \(\Delta ABC\sim\Delta MDC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{DC}{BC}=\frac{MC}{AC}\Rightarrow DC.AC=BC.MC\)
\(\Rightarrow\frac{2}{3}AC.CK=\frac{1}{2}BC^2\Rightarrow4AC.CK=3BC^2\)
24 tháng 2 2021
xét tam giác ABC cân tại A
có AM là trung tuyến
=> AM là đg cao
ta có góc AMB =90 độ
ADB=90 độ(BD vg góc AC)
=>Tứ giác ABMD nội tiếp
xét tam giác BDM có N,I lần lượt là trg điểm MB,BD
=> NI là đtb tam giác BMD
=>IN//DM=> góc INM= DMC
=> góc DMC =BAK
ta có gócINM=BAK cùng= DMC
=> tứ giác ABNK nội tiếp
b) xét tam giác CNK, CAB có NCK chung
góc CNK= BAC(cmt)
=> 2 tam giác CNK, CAB đồng dạng(g.g)
=> CK/cb= CN/AC
=> AC.CK=BC.CN
mà CN=MN+MC= BC/4+BC/2=3BC/4
nên AC.CK=3.BC^2/4=> BC^2= 4/3AC.CK
LB
15 tháng 1 2022
a) xét tam giác ABC cân tại A
AM là đường trung tuyến => AM là đường cao
ta có : AMB = 90 độ
ADB = 90 độ ( BD vuông góc với AC)
=> tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn
xét tam giác BDM có lần lượt N, I là trung điểm của MB và BD
=> NI là đường trung bình của tam giác BDM
=> IN//DM
=> +INM = DMC
+ DMC = BAK
=> INM = BAK
=> tứ giác nội tiếp.
b) xét tam giác CNK, CAB có NCK chung
góc CNK = BAC
=> tam giác CNK đồng dạng với tam giác CAB
=> CK/CB=CN/AC
=> AC.CK=BC.CN
mà CN = MN+MC= BC/4 + BC/2=3BC/4
nên AC.CK=3BC^2/4=> BC2=34CA.CK
2 tháng 8 2023
a: Xét (O) có
góc BEC, góc BDC đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
=>góc BEC=góc BDC=90 độ
=>CE vuông góc AB, BD vuông góc AC
Xét ΔABC có
CE,BD là đường cao
CE cắt BD tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC tại F
góc BEH+góc BFH=180 độ
=>BEHF nội tiếp
b: Xét ΔHCB có CO/CB=CM/CH
nên OM//BH
=>góc COM=góc CBH
=>góc COM=góc FEC
=>góc MOF+góc FEM=180 độ
=>OMEF nội tiếp
HM
15 tháng 7 2023
a) Xét △ABM vuông tại A và △DBM vuông tại D có:
BM chung
AB=DB=3cm(gt)
=> △ABM=△DBM (cạnh huyền-cạnh góc vuông) => AM=DM(2 cạnh t/ứ)
b) Xét △AMN và △DMC có:
AMN=DMC(2 góc đối đỉnh)
AM=DM(cmt)
MAN=MDC(gt)
=> △AMN=△DMC(g.c.g) => MN=MC(2 cạnh tướng ứng) => △MCN cân tại M
c) Vì △AMN=△DMC(cmt) => AN=DC(2 cạnh tương ứng)
Ta có AB=BD;AN=DC;BN=AN+AB;BC=BD+DC => BN=BC=> △BNC cân tại B
Vì △ABM=△DBM(cmt)=> ABM=DBM=> NBK=CBK (A thuộc BN; D thuộc BC;M thuộc BK) => BK là phân giác NBC
=> Trong △BNC cân tại B, BK là đường phân giác, đường trung trực, đường trung tuyến, đường cao,... (t/c) => BK là đường trung trực của CN
d) Áp dụng định lý Pytago vào △ABC vuông tại A có: AB2+AC2=BC^2
=> 9+16=25=BC^2 (cm) => BC = 5 cm
Ta có BD+DC=BC;BD=3cm=> DC=2cm
Ta có AN=DC(cmt) => AN=2cm
Áp dụng định lý Pytago vào △ANC vuông tại A có:
AN^2+AC^2=NC^2
=> 4+16=NC^2
=> NC= căn 20 = 2 x căn 5 (cm)
Vì BK là trung trực NC => K là trung điểm NC => KC = 1/2 NC = căn 5 (cm)
Áp dụng định lý Pytago vào △BKC vuông tại K có:
BC^2=BK^2+KC^2 => BK^2=BC^2+KC^2=25-5=20cm => BK=căn 20=2 nhânnhân căn 5 (cm)
30 tháng 3 2023
a: góc ADB=1/2*180=90 độ
góc EDF+góc EHF=180 độ
=>EDFH nội tiếp
b: gócBAE+góc CAE=90 độ
góc BEA+góc HAE=90 độ
mà góc CAE=góc HAE
nên góc BEA=góc BAE
=>ΔBAE cân tại B
DT
19 tháng 4 2019
a, áp dụng định lí py-ta-go ta có:
\(BC^2\)=\(AB^2+AC^2\)
=> \(AC^2=BC^2-AB^2\)
=> \(AC^2=100-36\)
=> \(AC^2=64\)cm => AC=8 cm
vậy AC=8 cm
vì BC>AC>AB(10cm>8cm>6cm)
=> \(\widehat{A}\)>\(\widehat{B}\)>\(\widehat{C}\)(góc đối diện vs cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) đpcm
b, Xét 2 t.giác vuông BCA và DCA có:
AB=AD(gt)
AC cạnh chung
=> \(\Delta\)BCA=\(\Delta\)DCA(cạnh góc vuông-cạnh góc vuông)
=> BC=DC(2 cạnh tương ứng)
=>t.giác BCD cân tại C (đpcm)
DT
19 tháng 4 2019
c, xét t.giác BCD : A là trung điểm BD, K là trung điểm của BC, AC và DK cắt nhau tại M
=> M là trọng tâm của \(\Delta\)BCD => MC=\(\frac{2}{3}\)AC(tính chất 3 đường trung tuyến)
=> MC=\(\frac{2}{3}\).8\(\approx\)5,3 cm
vậy MC\(\approx\)5,3 cm
