Question

[Toán hay and khó]

cho đường tròn (O;R) tiếp xúc ngoài với (O' ;r) tại A . Một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc vs đường tròn (O) va(O') lần lượt tại B và C. vẽ AH vuông góc vs BC 

a) Tính BC 

b) cmr : 3 đường thẳng OC,O'B và AH đồng quy tại trung điểm của AH 

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

hình :

Answer 2

[Thanh Tùng DZ]

a) Đường tròn ( O ) và ( O' ) tiếp xúc ngoài tại A tại A nên A,O,O' thẳng hàng.

Qua A vẽ tiếp tuyến chung cắt BC tại M,ta được MB = MC = MA 

Suy ra BC = 2MA

Ta có : \(MO\perp MO'\) 

áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta MOO'\)vuông tại M,ta có :

MA² = AO.AO' hay MA² = R.r 

\(\Rightarrow MA=\sqrt{R.r}\)

\(\Rightarrow BC=2\sqrt{R.r}\)

b) gọi D là giao điểm của OC và AH. 

Ta có OB // O'C // AH ( cùng vuông góc với BC )

Theo định lí Ta-let, ta có :

\(\frac{DH}{OB}=\frac{CD}{CO}=\frac{AO'}{OO'}\)

Suy ra : \(\frac{DH}{R}=\frac{r}{R+r}\Rightarrow DH=\frac{R.r}{R+r}\)

Tương tự : \(DA=\frac{R.r}{R+r}\)

\(\Rightarrow AD=DH\)

CMTT O'B cũng đi qua D

Vậy 3 đường thẳng OC,O'B,AH đồng quy tại D