Question

[Lê Trần Quỳnh Anh]

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Vẽ HI _|_ EF tại I, HK _|_ DE tại K. IK cắt AD ở M, FM cắt DE ở N. F là điểm đối xứng của B qua D. CM: A,N,S thẳng hàng

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Tứ giác FEAH có: \(\widehat{FAH}=\widehat{AEH}=90^o\)

=> Tứ giác FEAH nội tiếp => \(\widehat{HEF}=\widehat{FAH}\)

Tứ giác ABDE có: \(\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o\)

=> Tứ giác ABDE nội tiếp => \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)

Vậy \(\widehat{HEF}=\widehat{BED}\)

Xét \(\Delta\)HIE \(\left(\widehat{HIE}=90^o\right)\)và \(\Delta\)HKE \(\left(\widehat{HKE}=90^o\right)\)có:

EH chung

\(\widehat{HEI}=\widehat{HEK}\)

=> \(\Delta HIE=\Delta HKE\) (cạnh huyền-góc nhọn)

=> \(\hept{\begin{cases}EI=EK\\HI=HK\end{cases}}\)(2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta\)KEI cân tại E, \(\Delta\)HIK cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{KIE}=\frac{1}{2}\widehat{IEK}\Rightarrow\widehat{KIE}+\widehat{FAH}=90^o\)

Mà \(\widehat{MHF}=\widehat{FAH}=90^o\)

Do đó: \(\widehat{KIE}=\widehat{MHF}\)=> Tứ giác FIMH nội tiếp => \(\widehat{MHF}=\widehat{HIF}=90^o\)

Tứ giác HMNK có: \(\widehat{HMN}=\widehat{HKN}=90^o\)=> Tứ giác HMNK nội tiếp

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{HFN}=\widehat{HIK}\\\widehat{HNM}=\widehat{HIK}\\\widehat{HIK}=\widehat{HKI}\end{cases}}\)

=> \(\Delta\)HFN đồng dạng \(\Delta\)HIK (g.g)

=> \(\frac{HF}{HI}=\frac{HN}{HK},HI=HK\Rightarrow HF=HN\)

\(\Delta\)HFN cân tại H, HM _|_ FN => HM là đường trung tuyến của tam giác HFN

FM _|_ AD, BD _|_ AD => FM//BD

MF=MN, DB=DC nên \(\frac{AM}{AD}=\frac{MN}{DS}\)

Xét \(\Delta\)AMN và \(\Delta\)ADS có:

\(\widehat{AMN}=\widehat{ADS}\left(MN//BS\right),\frac{AM}{AD}=\frac{MN}{DS}\)

=> \(\Delta\)AMN đồng dạng \(\Delta\)ADS (c.g.c)

=> \(\widehat{MAN}=\widehat{DAS}\)

=> 2 tia AN, AS trùng nhau => A,N,S thẳng hàng