Question

[Monster]

Giả sử M,N là các điểm nằm trong tam giác ABC sao cho \(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\)và \(\widehat{MBA}=\widehat{NBC}\)

CMR: \(\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BC\cdot BA}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}=1\)

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

*hinh tu ve*

Xét phép vị tự quay S có tâm B, góc quay (BM,BA) \(\left(mol\pi\right)\)và tỉ số \(k=\frac{BM}{BA}\)

Ta có S: \(M\rightarrow A,C\rightarrow H\in BN\)

Khi đó: (HN,HC) = (AB,AM) = ((AN,AC) \(\left(mol\pi\right)\)

Nên A,N,C, H đồng viên. Theo định lý Ptolemy ta có: 

HB.AC=AC(BH+NH)=AC.BH+AN.CH+AH.CN

Lại theo tính chất của phép tự vị quay thì \(k=\frac{BA}{BM}=\frac{HC}{AM}=\frac{HA}{CM}=\frac{HB}{BC}\)

\(\Rightarrow HC=\frac{AM\cdot AB}{BM};BH=\frac{AB\cdot BC}{BM};HA=\frac{AB\cdot MC}{BM}\)

\(\Rightarrow\frac{AB\cdot BC}{BM}\cdot AC=AC\cdot BN+\frac{AM\cdot AB}{BM}\cdot AN+\frac{AB\cdot MC}{BM}\cdot CN\)

hay \(\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BC\cdot BA}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}=1\)