Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn: x2+y2+z2=3. Chứng minh rằng:x3+y3+z3+x+y+z ≥ 6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
L2
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 10 2021
\(xy+x+1=3y\Rightarrow x+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{y}=3\)
Ta có:
\(x^3+1+1\ge3x\)
\(\dfrac{1}{y^3}+1+1\ge\dfrac{3}{y}\)
\(x^3+\dfrac{1}{y^3}+1\ge\dfrac{3x}{y}\)
Cộng vế:
\(2\left(x^3+\dfrac{1}{y^3}\right)+5\ge3\left(x+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{y}\right)=9\)
\(\Rightarrow x^3+\dfrac{1}{y^3}\ge2\)
\(\Rightarrow x^3y^3+1\ge2y^3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
L2
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 10 2021
\(a^3+1+1\ge3a\)
\(b^3+1+1\ge3b\)
\(c^3+1+1\ge3c\)
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge6abc\)
Cộng vế:
\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)+6\ge3\left(a+b+c+2abc\right)=15\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
9 tháng 7 2023
Bài 3:
a, (\(x\)+y+z)2
=((\(x\)+y) +z)2
= (\(x\) + y)2 + 2(\(x\) + y)z + z2
= \(x^2\) + 2\(xy\) + y2 + 2\(xz\) + 2yz + z2
=\(x^2\) + y2 + z2 + 2\(xy\) + 2\(xz\) + 2yz
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
9 tháng 7 2023
b, (\(x-y\))(\(x^2\) + y2 + z2 - \(xy\) - yz - \(xz\))
= \(x^3\) + \(xy^2\) + \(xz^2\) - \(x^2\)y - \(xyz\) - \(x^2\)z - y3
Đến dây ta thấy xuất hiện \(x^3\) - y3 khác với đề bài, em xem lại đề bài nhé
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 10 2021
\(x^3+y^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.y^3}=3xy^2\)
\(x^3+1+1\ge3x\)
\(2\left(y^3+1+1\right)\ge6y\)
Cộng vế:
\(2\left(x^3+2y^3\right)+6\ge3\left(x+2y+xy^2\right)=12\)
\(\Rightarrow x^3+2y^3\ge3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
4 tháng 9 2021
a: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\)
\(=x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)
\(x^3+x\ge2\sqrt{x^4}=2x^2\)
Tương tự:
\(y^3+y\ge2y^2\)
\(z^3+z\ge2z^2\)
Cộng vế:
\(x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
giup e (e cam on)
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-ham-so-yfleftxright-x24x5tim-m-defleftleftxrightright-leftm1rightleftfleftxrightrightm0-co-8-nghiem-phan-biet.2499562346765