Question

[Phạm Cao Sơn]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC tại T. Vẽ TN là tiếp tuyến của (O). M là trung điểm BC.

a)CMR \(\widehat{BAN}=\widehat{CAM}\)

b) Kẻ CK vuông góc AN. Vẽ đường cao AD và CF của tam giác ABC. Chứng minh DK đi qua trung điểm BF

Answer 1

[Lê Nhật Khôi]

Hình vẽ:(không chắc nó có hiện ra hay k bạn thông cảm)Câu a) 

Dễ chứng minh ATNO là tứ giác nội tiếp

Đồng thời MB=MC nên OM vuông góc BC hay OMNT là tứ giác nội tiếp

Suy ra: A,O,M,N,T cùng thuộc một đường tròn(đường kính OT)

Có OMNT là tứ giác nội tiếp suy ra: \(\widehat{BMN}=\widehat{TON}\)

Mà \(\widehat{TON}=\widehat{TAN}=\widehat{TNA}\)

Cho nên: \(\widehat{BMN}=\widehat{TNA}\)

Hơn nữa: \(\widehat{TNA}=\widehat{ACN}\)(cùng bằng một nửa số đo cung ABN)

\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{ACN}\)

Xét tam giác BMN và tam giác ACN có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{BMN}=\widehat{ACN}\\\widehat{MBN}=\widehat{CAN}\end{cases}}\)

Do đó: \(\Delta BMN~\Delta ACN\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{BN}{AN}=\frac{MB}{AC}=\frac{MC}{AC}\)

Chứng minh tiếp \(\Delta ABN~\Delta AMC\left(c.g.c\right)\)từ tỉ số trên và \(\widehat{ANB}=\widehat{ACM}\)

Vậy \(\widehat{BAN}=\widehat{CAM}\)

___________________________________________________________________________________________________________

Câu b) Hình vẽ cho câu b): (không hiện ra thì bn thông cảm do paste từ GeoGebra ra)

Gọi giao DK cắt BF tại P

Ta có: \(\Delta TNB~\Delta TCN\)\(\Rightarrow\frac{TN}{TC}=\frac{NB}{CN}\)

Tương tự: \(\Delta TAB~\Delta TCA\)\(\Rightarrow\frac{TA}{TC}=\frac{AB}{AC}\)

Do TA=TN nên \(\frac{NB}{NC}=\frac{AB}{AC}\)(1)

Lại có: ADKC là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{BNA}=\widehat{BCA}=\widehat{DKA}\Rightarrow BN//KP\)

\(\Delta FPD~\Delta NBA\Rightarrow\frac{PF}{NB}=\frac{PD}{AB}\)(2)(bn tự CM)

\(\Delta DBP~\Delta ANC\Rightarrow\frac{PB}{NC}=\frac{PD}{AC}\)(3)(bn tự CM)

Từ (1);(2) và (3) suy ra đpcm

P/s: Bài làm dài quá mik làm biếng không check lại nên có thể có sai sót nha.

Answer 2

[PHAM MINH TIEN]

CCFCXD