Question

[nguyễn huy hoàng]

Cho ΔABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB , lấy điểm E trên cạnh AE sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD

a) Chứng minh BE = CD

b) Chứng minh ΔKBD = ΔKCE

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm A,K,M thẳng hàng

Answer 1

[👁💧👄💧👁]

a) △ABC cân tại A \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\)

Xét △ABE và △ACD có:

\(AB=AC\\ \widehat{A}:\text{ góc chung}\\ AE=AD\)

\(\Rightarrow\text{△ABE = △ACD (c.g.c)}\)

\(\Rightarrow BE=CD\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\)

b) \(\text{△ABE = △ACD (c.g.c)}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\\\widehat{AEB}=\widehat{ADC}\end{matrix}\right.\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AEB}+\widehat{BEC}=180^o\\ \widehat{ADC}+\widehat{CDB}=180^o\)(2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{CDB}\)

Có AD = AE

Mà AB = AC

\(\Rightarrow BD=CE\)

Xét △KBD và △KCE có:

\(\widehat{KBD}=\widehat{KCE}\\ BD=CE\\ \widehat{KDB}=\widehat{KEC}\)

\(\Rightarrow\text{△KBD = △KCE (g.c.g)}\)

c) \(\text{△KBD = △KCE (g.c.g)}\)

\(\Rightarrow KB=KC\) (2 cạnh tương ứng)

Xét △AKB và △AKC có:

\(AB=AC\\ KB=KC\\ AK:\text{cạnh chung}\)

\(\Rightarrow\text{△AKB = △AKC (c.c.c)}\)

\(\Rightarrow\widehat{KAB}=\widehat{KAC}\) (2 góc tương ứng)

Mà AK nằm giữa AB và AC

\(\Rightarrow\) AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (1)

Xét △AMB và △AMC có:

\(AB=AC\\ MB=MC\\ AM:\text{cạnh chung}\)

\(\Rightarrow\text{△AMB = △AMC (c.c.c)}\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\) (2 góc tương ứng)

Mà AM nằm giữa AB và AC

\(\Rightarrow\) AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (2)

(1) (2) \(\Rightarrow\) A;K;M thẳng hàng

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABE và ΔACD có

AE=AD(gt)

\(\widehat{A}\) chung

AB=AC(ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔABE=ΔACD(c-g-c)

⇒BE=CD(hai cạnh tương ứng)

b)Ta có: ΔABE=ΔACD(cmt)

⇒\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{DBK}=\widehat{ECK}\)

Ta có: AD+DB=AB(do A,D,B thẳng hàng)

AE+EC=AC(do A,E,C thẳng hàng)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

và AD=AE(gt)

nên BD=EC

Xét ΔDKB có

\(\widehat{D_1}+\widehat{K_1}+\widehat{B_1}=180^0\)(định lí tổng ba góc trong một tam giác)(1)

Xét ΔKEC có

\(\widehat{E_1}+\widehat{K_2}+\widehat{C_1}=180^0\)(định lí tổng ba góc trong một tam giác)(2)

Ta có: \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)(cmt)(3)

và \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\)(hai góc đối đỉnh)(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\)

Xét ΔKBD và ΔKEC có

\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)(cmt)

BD=EC(cmt)

\(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\)(cmt)

Do đó: ΔKBD=ΔKEC(g-c-g)

c) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

⇒A nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)

Ta có: KB=KC(ΔKBD=ΔKCE)

⇒K nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)

Ta có: MB=MC(M là trung điểm của BC)

⇒M nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(7)

Từ (5), (6) và (7) suy ra A,K,M thẳng hàng(đpcm)