cho tam giác ABC cân tại A, góc A = 30 độ, AB =AC =5 cm, đường thẳng qua B và tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AC tại D. tính BD
giúp mình với TT .TT
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do (O) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
⇒ O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC
⇒ AO là đường trung trực của ∆ABC
⇒ AO ⊥ BC tại H
⇒ H là trung điểm BC
⇒ BH = BC : 2 = 12 : 2 = 6 (cm)
Do ∠ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
⇒ ∠ABD = 90⁰
∆ABD vuông tại B có BH là đường cao
⇒ 1/BH² = 1/AB² + 1/BD²
⇒ 1/BD² = 1/BH² - 1/AB²
= 1/36 - 1/100
= 4/225
⇒ BD² = 225/4
⇒ BD = 15/2 = 7,5 (cm)
∆ABD vuông tại B
⇒ AD² = AB² + BD² (Pytago)
= 10² + 7,5²
= 156,25
⇒ AD = 12,5 (cm)
Để tính độ dài đoạn thẳng AD, ta cần tìm được tọa độ của điểm D trên đường tròn (O).
Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Ta có AM là đường trung trực của BC, do đó OM vuông góc với BC và OM = MC = 6(cm).
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực của BC cũng là đường cao của tam giác. Do đó, ta có AH là đường cao của tam giác ABC và AH = $\sqrt{AB^2 - BM^2}$ = $\sqrt{100 - 36}$ = $\sqrt{64}$ = 8(cm).
Ta có thể tính được AO bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOM:
$AO^2 = AM^2 + OM^2 = 10^2 - 6^2 + 6^2 = 100$
Vậy $AO = 10$ (cm).
Do đó, ta có thể tính được bán kính đường tròn (O) là $R = \frac{BC}{2} = 6$ (cm).
Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường tròn (O). Ta có AE là đường đối xứng của AH qua đường tròn (O), do đó AE = AH = 8 (cm).
Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng DE bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOD:
$DE^2 = DO^2 + OE^2 = R^2 + AE^2 = 6^2 + 8^2 = 100$
Vậy $DE = 10$ (cm).
Ta cần tính độ dài đoạn thẳng AD. Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng HD bằng định lý Euclid:
$\frac{HD}{BD} = \frac{AH}{AB}$
$\Rightarrow HD = \frac{AH \cdot BD}{AB} = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{24}{5}$ (cm)
Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng AO bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHO:
$AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2 \cdot AO \cdot OD \cdot \cos{\angle AOD}$
Vì tam giác AOD cân tại O nên $\angle AOD = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB$. Ta có thể tính được $\angle AOB$ bằng định lý cosin trong tam giác ABC:
$\cos{\angle AOB} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC
2). Từ AD là phân giác B A C ^ suy ra DB=DC vậy DE vuông góc với BC tại trung điểm N của BC.
Từ 1). Δ B D M ∽ Δ B C F , ta có D M C F = B D B C .
Vậy ta có biến đổi sau D A C F = 2 D M C F = 2 B D B C = C D C N = D E C E (3).
Ta lại có góc nội tiếp A D E ^ = F C E ^ (4).
Từ 3 và 4, suy ra Δ E A D ∽ Δ E F C ⇒ E F C ^ = E A D ^ = 90 ° ⇒ E F ⊥ A C