Cho a,b,c,d thoa ab+bc+cd+da =1
cmr \(a^2+2b^2+c^2+2d^2\ge\sqrt{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 8 2016
nhấn vào đây nha: [Đại số] Một bài toán chứng minh sự tồn tại. | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
hì hì ok nha!! 7655685795325325454364561253454364565464575678568788978676
18 tháng 9 2017
cộng 4 biểu thức lại ta có:
\(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)+\left(d-2\sqrt{da}+a\right)+a+b+c+d\)
\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{d}\right)^2+\left(\sqrt{d}-\sqrt{a}\right)^2+a+b+c+d>0\)
g/s 4 biểu thức đó đều âm=>tổng của chúng âm
=>1 trong 4 biểu thức có 1 biểu thức là số dương
12 tháng 1 2021
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\) với x, y, z > 0 thì ta có \(x+y+z=1\).
Đặt biểu thức ở VT là A. Ta có:
\(A=\sqrt{\dfrac{b^2+2a^2}{a^2b^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+2b^2}{b^2c^2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+2c^2}{c^2a^2}}=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\).
Ta có bất đẳng thức \(\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{a_3^2+a_4^2}\ge\sqrt{\left(a_1+a_3\right)^2+\left(a_2+a_4\right)^2}\).
Đây là bđt Mincopxki cho hai bộ số thực và dễ dàng cm bằng biến đổi tương đương.
Do đó \(A\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\sqrt{2}y+\sqrt{2}z\right)^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\sqrt{2}y+\sqrt{2}z+\sqrt{2}x\right)^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}=VP\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3.
Vậy...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2021
Tương tự: \(GT\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
\(VT=\dfrac{\sqrt{a^2+a^2+b^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{b^2+b^2+c^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{c^2+a^2+a^2}}{ca}\)
\(VT\ge\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(a+a+b\right)^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(b+b+c\right)^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(c+c+a\right)^2}}{ca}\)
\(VT\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
19 tháng 1 2023
\(ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)
\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
26 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Bunhia- cốp -xki ta có
\(M=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a+b\right)\le2\)
Vậy maxM =2 \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Dễ có các bất đẳng thức sau: (chứng minh bằng cách chuyển vế và phân tích...)
\(\frac{a^2}{2}+b^2\ge\sqrt{2}ab\)
\(b^2+\frac{c^2}{2}\ge\sqrt{2}bc\)
\(\frac{c^2}{2}+d^2\ge\sqrt{2}cd\)
\(d^2+\frac{a^2}{2}\ge\sqrt{2}da\)
Cộng lại là xong.
Hoặc SOS cho nó:
\(VT-VP=\frac{1}{4}\left[2\left(a-c\right)^2+\left(a+c-2\sqrt{2}b\right)^2+\left(a+c-2\sqrt{2}d\right)^2\right]\)
Hoặc kinh khủng hơn:
\(4\left(a^2+b^2\right)\left(VT-VP\right)=2\left(a^2+b^2\right)\left(a-c\right)^2+\left(a^2-ab+ac-2\sqrt{2}ad+2\sqrt{2}b^2-bc\right)^2+\left(a^2+ac+\left(1-2\sqrt{2}\right)ab+bc-2\sqrt{2}bd\right)^2\)
\(\ge0\)