Cho 0 < x, y, z < 1 thỏa mãn xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z). Chứng minh rằng : trong ba số x(1 - y), y(1 - z), z(1 - x) có ít nhất một số không nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 2 2020
Ta giả sử 3 số đều =2
=>\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)(Đúng)
=>đpcm
P/s : nhanh gọn lẹ :))
10 tháng 3 2020
Đặt \(A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
Không mất tính tổng quát giả sử:
\(\frac{1}{x+1}< \frac{1}{y+1}< \frac{1}{z+1}\)
Ta có
+) \(A>\frac{3}{1+x}\Leftrightarrow1>\frac{3}{1+x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}>\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow x+1>3\)
<=> x>2(1)
+) \(A< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow1< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow\frac{1}{3}< \frac{1}{1+z}\Leftrightarrow1+z< 3\Leftrightarrow x< 2\)(2)
Từ (1) (2) => ĐPCM
25 tháng 2 2020
Vai trò \(x,y,z\)như nhau không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\ge z\)
Nếu \(x< 2\)thì \(xyz< 2\cdot2\cdot z=4z=z+3z< 2+3z\le2+x+y+z\)(mâu thuẫn)
Vậy \(x\ge2\)
Nếu \(z>2\)thì \(xyz>x\cdot2\cdot2=4x=x+3x>2+3x\ge2+x+y+z\)(mâu thuẫn)
Vậy \(z\le2\)
Nghĩa là có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 2 và ít nhất 1 số không lớn hơn 2
25 tháng 1 2022
giả sử cả 3 số xyz đều nhỏ hơn 1
=>x+y+z<1+1+1=3
ta có x+y+z>\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)=\(\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}\)\(\ge\)\(\dfrac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{abc}\) =\(\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{1}}=3\) vậy x+y+z >3
từ đó sẽ có ít nhất 1 trong 3 số lớn hơn 1
1 tháng 5 2020
Bài 1:
Đặt a=x-1; b=y-1; c=z-1. Khi đó a;b;c\(\in\)[-1;1], a+b+c=0 và
\(P=\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\)
Ta có: \(0\le a^2+b^2+c^2\le2\)
Từ đây ta dễ thấy Min P=3 đạt được khi x=y=z=1
1 tháng 5 2020
Ta xét tống T của 3 số x(1-y);y(1-x);z(1-x)
Ta có T=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x+y+z-xy-xz-yz
Theo giả thiết xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z-xy-xz-yz)-xyz
=> 2xyz=1-T => T=1-2xyz
Nhưng x2y2z2 =[x(1-x)][y(1-y)][z(1-z)]\(\le\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)
=> xyz\(\le\)\(\frac{1}{8}\Rightarrow2xy\le\frac{1}{4}\)
Vậy \(T\ge1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(T\ge\frac{3}{4}\)nên trong 3 số x(1-x), y(1-y), z(1-z) có ít nhất một trong 3 số đó \(\ge\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 5 2021
Lời giải:
$x+y+z>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
$\Leftrightarrow x+y+z>xy+yz+xz$ (do $xyz=1$)
$\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-xz>0$
$\Leftrightarrow xyz+x+y+z-xy-yz-xz-1>0$
$\Leftrightarrow (x-xy)+(y+z-yz-1)+(xyz-xz)>0$
$\Leftrightarrow x(1-y)+(1-y)(z-1)-xz(1-y)>0$
$\Leftrightarrow (1-y)(x+z-1-xz)>0$
$\Leftrightarrow (1-y)(1-z)(x-1)>0$
$\Leftrightarrow (1-y)(1-z)(1-x)<0(*)$
Nếu trong 3 số $x,y,z$ đều nhỏ hơn $1$ thì $(1-y)(1-z)(1-x)>0$ (mâu thuẫn với $(*)$)
Do đó trong 3 số có ít nhất 1 số lớn hơn $1$.
Từ gt, ta có \(\left(xyz\right)^2=\left[x\left(1-x\right)\right]\left[y\left(1-y\right)\right]\left[z\left(1-z\right)\right]\)
Sử dụng BĐT AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:
\(x\left(1-x\right)\le\frac{1}{4};y\left(1-y\right)\le\frac{1}{4};z\left(1-z\right)\le\frac{1}{4}\)
Nhân các bđt trên lại theo vế =. \(\left(xyz\right)^2\le\frac{1}{64}\)hay \(xyz\le\frac{1}{8}\)
Gọi A là số lớn nhất trong các số x(1-y);y(1-z); z(1-y)
khi đó từ gt, ta có:
\(3A\ge x\left(1-y\right)+y\left(1-z\right)+z\left(1-x\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(=1-2xyz\ge\frac{3}{4}\)
từ các đánh giá trên => \(A\ge\frac{1}{4}\)
=> đpcm